Кинематика

Так как стенка движется горизонтально, то и скорость мяча будет изменяться только горизонтально. Рассмотрим движение мяча в системе отсчета, связанной с движением стенки и с неподвижной системой отсчета.
В системе отсчета, связанной с движением стенки, мяч по горизонтали движется со скоростью \(v+u\), где \(v=v_0 \sin \alpha \), а после удара мяч движется со скоростью \(-v-u\).
Перейдем в неподвижную систему отсчета. Теперь скорость мяча будет \(v\) до удара, а после удара она будет на \(-u\) меньше, так как прошлая система отсчета двигалась со скоростью \(u\). Тогда скорость после удара будет \(v_2=-2u-v=-2u-v_0\sin \alpha\).
Движение по вертикали остается с постоянной по модулю и направлению скоростью \(v_x=v_0 \cos \alpha\) По теореме Пифагора найдем скорость после удара \[V=\sqrt{v_x^2+v_2^2}=\sqrt{v_0^2 \cos^2 \alpha +(-2u-v_0 \sin \alpha)^2}=\sqrt{\dfrac{3\cdot 400\text{ м$^2$/с$^2$}}{4}+900\text{ м$^2$/с$^2$}}\approx 35\text{ м/с}\]

Ответ: 35

I способ
Перейдем в систему отсчета, связанную со вторым телом.
Если перейдем в систему отсчета, связанную со вторым, то первому телу надо будет пройти 3S по вертикали и S по горизонтали. Тогда скорость первого тела, относительно второго равна \[\vec{v_\text{ отн}}=\vec{v_1}-\vec{v_2}\] , а ускорение \(g\) равно нулю.
При этом угол наклона относительной скорости таков, что его тангенс равен 3 \(tg\beta =3\) (потому что по вертикали 3S, а по горизонтали S) Тангенс можно расписать как \[tg \beta =3 =\dfrac{v_1 \sin \alpha +v_2}{v_1\cos \alpha }\Rightarrow v_2=v_1(3 \cos \alpha - \sin \alpha)=5 \text{ м/с}\hspace{5 mm}(3\cdot \dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{5})=9\text{ м/с}\] II способ
Найдем \(\sin \alpha\) через основное тригонометрическое тождество \[\sin \alpha =\sqrt{1-\cos^2 \alpha }=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\dfrac{3}{5}\] Перейдем в систему отсчета, которая движется с ускорение \(g\) вниз.
Рассмотрим движение снежинки \(A\) и снежинки \(B\) относительно горизонтальной оси \(x\) этой системы и вертикальной \(y\).
Снежинка \(A\):
По горизонтально оси она пролетит расстояние \(S\) с постоянной скоростью \[v_{x1}=v_1\cos \alpha\] Это расстояние равно \[S=v_{x1}t=v_1 \cos \alpha t \quad (1)\] По вертикальной оси она также будет двигаться без ускорения (с учетом нашей системы отсчета).И ее скорость при этом равна \[v_{y1}=v_1\sin \alpha\] Пусть она будет на расстоянии \(L\) по вертикали от начала своего движения, с учетом формул кинематики имеем \[L=v_{y1}t=v_1 \sin \alpha t\quad (2)\] Теперь рассмотрим снежинку \(B\).
По горизонтальной оси она не будет двигаться, а по вертикальной будет двигаться с постоянной скоростью \(v_2\) и пройдет расстояние \(3S-L\). С учетом формул кинематики \[3S-L=v_2t \quad (3)\] Выразим из (1) время движения снежинок \(t\) и объединим (2) и (3) \[t=\dfrac{S}{v_1\cos \alpha}\] \[3S-\dfrac {v_1 \sin \alpha}{v_1\cos \alpha }=\dfrac{v_2 S}{v_1 \cos \alpha }\] Поделим на \(S\) и выразим \(v_2\) \[v_2=v_1(3 \cos \alpha - \sin \alpha)=5 \text{ м/с}\hspace{5 mm}(3\cdot \dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{5})=9\text{ м/с}\]

Ответ: 9

I способ
Перейдем в систему отсчета, связанную со вторым телом, тогда первое тело будет двигаться по горизонтали со скоростью \(-2v_0\) и по вертикали с начальной скоростью \(v_0\) и ускорением (замедлением) \(g\). Найдем время движения первого тела до полной остановки. Конечная скорость равна 0 \[0=v_0-gt \Rightarrow t = \dfrac{v_0}{g}\] Теперь найдем расстояние по вертикали \[S_y=v_0t-\dfrac{gt^2}{2}=\dfrac{v_0^2}{g}-\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{v_0^2}{2g}\] а Расстояние по горизонтали равно \[S_x=2v_0t=2\dfrac{v_0^2}{g}\] Тогда расстояние между телами по теореме Пифагора \[L=\sqrt{S_1^2+S_2^2}=\sqrt{5}\dfrac{v_0^2}{g}=\sqrt{5}\dfrac{(10\text{ м/с})^2}{10\text{ м/с$^2$}}\approx 22\text{ м}\] II способ
Найдем время движения первого тела до полной остановки. Конечная скорость равна 0 \[0=v_0-gt \Rightarrow t = \dfrac{v_0}{g}\] Введем декартовую систему координат, которая двигается вниз с ускорением \(g\). Оси направлены: горизонтально вдоль вектора скорости \(2v_0\) и вертикально вдоль вектора скорости \(v_0\).
В этой системе координат первое тело движется по вертикальной оси с постоянной скоростью \(v_0\). Тогда за время до снижения скорости первое тело пройдет \[S=v_0t=\dfrac{v_0^2}{g}\] Рассмотрим второе тело. В данной системе координат оно будет двигаться только горизонтально с постоянной скоростью \(2v_0\) и за время \(t\) пройдет расстояние \[S_2=2v_0t= \dfrac{2v_0^2}{g}\] По теореме Пифагора \[L=\sqrt{S_1^2+S_2^2}=\sqrt{5}\dfrac{v_0^2}{g}=\sqrt{5}\dfrac{(10\text{ м/с})^2}{10\text{ м/с$^2$}}\approx 22\text{ м}\]

Ответ: 22

I способ
Перейдем в систему отсчета, связанную с первым кораблем.
Тогда относительная скорость равна \[\vec{v_\text{отн}}=\vec{v_2}-\vec{v_1}\] Чтобы найти угол \(\beta \) рассмотрим треугольник со сторонами \(v_1,v_2,v_\text{ отн}\) Угол между сторонами \(v_1\) и \(v_2\) равен 60\(^\circ\) По теореме косинусов \[v_\text{ отн}=\sqrt{v_1^2+v^2_2-2v_1v_2\cos 60^\circ}=26\text{ м/с}\] По теореме синусов найдем \(\gamma\) \[\dfrac{v_1}{\sin \gamma}=\dfrac{v_\text{ отн}}{\sin 60^\circ} \Rightarrow \sin \gamma =\dfrac{v_1 \sin 60^\circ}{v_\text{ отн}}=\dfrac{1}{2}\] А угол \(\beta\) равен \(60^\circ-30^\circ=30^\circ\), значит, траектория относительного движения является биссектрисой, а в равностороннем треугольнике она является еще и медианой, следовательно, \(L_{min}=\dfrac{S_0}{2}=10\)

II способ
До момента пересечения траекторий корабли будут сближаться, после пересечения траекторий корабли будут удаляться. Значит минимальное расстояние в точке пересечения траекторий. Так как скорость второго в 2 раза больше, чем скорость первого, то он придет в точку пересечения в 2 раза быстрее, а расстояние между кораблями будет равно половине траектории. Заметим, что треугольник равносторонний (равнобедренный, с углом при пересечении одинаковых ребер 60 градусов), значит длина траектории равна \(S_0\)=20 км. Так как расстояние между кораблями равно \(\dfrac{S_0}{2}\)=10 км.

Ответ: 10

Запишем закон сохранения энергии \[\dfrac{mv_0^2}{2}+mgh=\dfrac{mv^2}{2},\] где \(v_0\) – начальная скорость камня, \(m\) – масса камня.
Найдем начальную скорость камня \[v_0=\sqrt{v^2-2gh}= \sqrt{900\text{ м$^2$/с$^2$}-2\cdot 10\text{ м/с$^2$}\cdot 25\text{ м}}=20\text{ м/с}\] По условию скорость камня в начальный момент времени и конечный направлены под углом 120\(^\circ\), отложим вектора этих скоростей из одной точки, при этом изменение скорости камня будет равно величине \(gt\). Будет треугольник, составленный на сторонах \(v_0\), \(v\), и \(gt\), при этом \(gt\) будет лежать напротив угла 120\(^\circ\).

Откуда по теореме косинусов \[gt=\sqrt{v_0^2+v^2-2v_0v\cos \beta} \Rightarrow t=\dfrac{\sqrt{v_0^2+v^2-2v_0v\cos \beta }}{g}=\dfrac{\sqrt{400\text{ м/с$^2$}+900\text{ м/с$^2$}-2\cdot 20\text{ м/с}\cdot 30\text{ м/с}\cdot (-0,5)}}{10\text{ м/с$^2$}} \approx 4,4\text{ с}\]

Ответ: 4,4

В первой случае самолет пролетел расстояние \[S=v_1 t_1\] где \(v_1\) – скорость самолета, \(t_1\) – 6 часов.
Во втором случае скорость самолета относительно земли будет складываться из скорости самолета и скорости ветра, при этом сложение будет векторное. То есть \[v=\sqrt{v_1^2-v_2^2}\] \(v_2\) – скорость ветра. А расстояние, пройденное самолетом равно \[S=vt_2=\sqrt{v_1^2-v_2^2} t_2\] Отсюда \[v_1t_1=\sqrt{v_1^2-v_2^2} t_2 \Rightarrow v_2 =\dfrac{v_1 \sqrt{t_1^2-t_2^2}}{t_2}=72\text{ км/ч}\]

Ответ: 72

Перейдем в систему отсчета, связанную с движением тренера.
Тогда скорость сближения колонны с тренером равна \[v_0=v_1+v_2, \quad (1)\] где \(v_1\) – скорость колонны, \(v_2\) – скорость тренера.
Полный разворот колонна сделает за время \(t\) \[t=\dfrac{L}{v_0}\quad (2)\] \(L\) – первоначальная длина колонны.
После разворота каждый участник колонны будет удаляться от тренера с постоянной скоростью \[v_0'=v_1-v_2,\quad (3)\] При этом длина колонны после разворота будет равна \[L'=v_0't \quad (4)\] Тогда с учетом (1), (2), (3) формулу (4) можно переписать в виде \[L'=L\dfrac{v_1-v_2}{v_1+v_2}=210\text{ м}\hspace{5 mm}\dfrac{5\text{ м/с}-2\text{ м/с} }{5\text{ м/с}+2\text{ м/с}}=90\text{ м}\]

Ответ: 90