Небольшой груз, прикрепленный к нити длинной \(l\), вращается с угловой скоростью \(\omega = 5 \)рад/с вокруг вертикальной оси так, что нить отклоняется от вертикали на угол \(\alpha = 60^\circ \)градусов. Чему равна длина нити \(l\)?
Запишем второй закон Ньютона для шарика на вертикальную и горизонтальную оси \[\begin{cases}
T' \sin \alpha=ma\\
T'\cos \alpha -mg=0\\
\end{cases}\] где \(m\) – масса груза, \(T'\) – сила натяжения нити, \(a\) –центростремительное ускорение. Также \(a=\dfrac{v^2}{R}\) \(R\) – радиус окружности вращения, а \(R=l\sin \alpha \). Значит второй закон ньютона выглядит следующим образом \[\begin{cases}
T' \sin \alpha=\dfrac{mv^2}{l\sin \alpha } \\
T'\cos \alpha -mg=0\\
\end{cases}\] Из второго уравнения выразим силу натяжения нити и подставим в первое \[\begin{cases}
T'=\dfrac{mg}{\cos \alpha}\\
\dfrac{mg\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{mv^2}{l\sin \alpha }\\
\end{cases}\] Угловая скорость равна \[\omega= v l\sin \alpha\] Значит второе уравнение из системы можно переписать в виде \[\dfrac{g}{\cos \alpha}=\omega^2 l \sin \alpha \Rightarrow l=\dfrac{g}{\omega^2\cos \alpha}=\dfrac{10\text{ м/с$^2$}}{25\text{ рад$^2$/с$^2$ \cdot 0,5}}=0,8\text{ м}\]
Ответ: 0,8