В маленький шар массой \(M = 250\) г, висящий на нити длиной \(l = 50\) см, попадает и застревает в нём горизонтально летящая пуля массой \(m = 10\) г. При какой минимальной скорости пули шар после этого совершит полный оборот в вертикальной плоскости? Сопротивлением воздуха пренебречь.
“Демоверсия 2019”
Закон сохранения импульса связывает скорость пули \(v_0\) перед ударом со скоростью \(v_1\) составного тела массой \(M+m\) сразу после удара: \[m v_{0}=(m+M) v_{1}\] а закон сохранения механической энергии — скорость составного тела сразу после удара с его скоростью \(v_2\) в верхней точке: \[\frac{(m+M) v_{1}^{2}}{2}=\frac{(m+M) v_{2}^{2}}{2}+(m+M) g \cdot 2 l\] Условие минимальности \(v_0\) означает, что шар совершает полный оборот в вертикальной плоскости, но при этом натяжение нити в верхней точке (и только в ней!) обращается в нуль. Второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление x в этот момент принимает вид: \[(m+M) a_{\text{ ц}}=(m+M) g=\frac{(m+M) v_{2}^{2}}{l}\] Выразив отсюда \(v_2^2\) и подставив этот результат в закон сохранения энергии, получим: \[v_{1}=\sqrt{5 g l}\] Подставив выраженне для \( v_{1} \) в закон сохранения импульса, получим: \[v_{0}=\left(1+\frac{M}{m}\right) \sqrt{5 g l}=\left(1+\frac{0,25}{0,01}\right) \sqrt{5 \cdot 10 \cdot 0,5}=130 \text{ с}\]
Ответ: 130