В системе, изображённой на рисунке, трения нет, блоки невесомы, нити невесомы и нерастяжимы, их участки, не лежащие на блоках, вертикальны, массы грузов равны \(m_1 = 1\) кг, \(m_2 = 3\) кг, \(m_3 = 0,5\) кг. Точки подвеса груза \(m_2\) — однородной горизонтальной балки — находятся на равных расстояниях от её концов. Найдите модуль и направление ускорения груза массой \(m_1\). Ответ дайте в м/с\(^2\).
По условию нить невесома и нерастяжима, поэтому сила натяжения везде одинаковая.
Введем вертикальную ось и сдлаем рисунок с изображением всех сил.
Запишем второй закон Ньютона для каждого из грузов. \[\begin{cases}
m_1g-T=m_1a_1\\
m_2g-4T=m_2a_2\\
m_3g-T=m_3a_3\\
\end{cases}\] Так как нить нерастяжима, то ее длина постоянна \[x_1+4x_2+x_3=const\] Отсюда получаем уравнение для ускорений грузов \[a_1+4a_2+a_3=0\] Из системы выразим ускорения \[\begin{cases}
a_1=g-\dfrac{T}{m_1} \quad (1) \\
a_2=g-\dfrac{4T}{m_2}\\
a_3=g-\dfrac{T}{m_3}\\
\end{cases}\] Подставим в уравнение для ускорений \[g-\dfrac{T}{m_1}+4g-\dfrac{16T}{m_2}+g-\dfrac{T}{m_3}=0 \Rightarrow T=\dfrac{6gm_1m_2m_3}{16m_1m_3+m_2m_3+m_1m_2}\] Подставим \(T\) в (1) и получим \[a_1=g-\dfrac{6gm_1m_2m_3}{m_1(16m_1m_3+m_2m_3+m_1m_2)}=g(1-\dfrac{6m_2m_3}{16m_1m_3+m_2m_3+m_1m_2})\] \[a_1=10\text{ Н/кг}\left(1-\dfrac{6\cdot 3\text{ кг}\cdot 0,5 \text{ кг}}{16 \cdot 1\text{ кг}\cdot 0,5 \text{ кг} + 3\text{ кг}\cdot 0,5\text{ кг}+ 1\text{ кг}\cdot 3\text{ кг}}\right)=2,8\text{ м/с$^2$}\]
Ответ: 2,8