Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

30. Молекулярная физика (расчетная задача)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

МКТ

Задание 1 #15493

На диаграмме зависимости давления \(p\) от объёма \(V\) для некоторой массы идеального газа две изобары пересекаются двумя изохорами в точках 1, 2, 3 и 4, причём точки 2 и 4 лежат на одной изотерме (см. рисунок). Найдите температуру \(T_2\) в точке 2, если известны температуры \(T_1\) и \(T_3\) в точках 1 и 3 соответственно.


Пусть объем при переходе из точки 1 в точку 4 возрастает в \(\alpha\) раз, тогда для точек 2 и 4, с учетом, что они лежат на изотерме, можно записать следующее равенство \[p_2V_2=p_4V_4 \Rightarrow p_2V_1=p_1\alpha V_1 \Rightarrow p_2=\alpha V_1\] Откуда следует, что \[p_3V_3=p_2V_4=\alpha^2 p_1V_1=\nu R T \alpha^2 T_1=\nu R T_3 \Rightarrow \alpha = \sqrt{\dfrac{T_3}{T_1}}\] Откуда температура в точке 2 \[T_2=\alpha T_1 =\sqrt{T_1T_3}\]

Ответ: $$\alpha T_1 =\sqrt{T_1T_3}$$

Задание 2 #15494

На диаграмме зависимости давления \(p\) от объёма \(V\) для некоторой массы идеального газа две изотермы пересекаются двумя изобарами в точках 1, 2, 3 и 4 (см. рисунок). Найти отношение температур \(T_3/T_1\) в точках 3 и 1, если отношение объёмов в этих точках \(V_3/V_1 = \alpha\). Объёмы газа в точках 2 и 4 равны.


Так как точки 1 и 4 лежат на изотерме, а объемы в точках 2 и 4 равны, то \[p_1V_1=p_4V_4=p_3V_2 \Rightarrow V_2=\dfrac{p_1V_1}{p_3}\] Аналогично для точек 2 и 3 \[p_3V_3=p_2V_2=p_1V_2 \Rightarrow V_2=\dfrac{p_3V_3}{p_1}\] Откуда \[\dfrac{p_1V_1}{p_3}=\dfrac{p_3V_3}{p_1} \Rightarrow \dfrac{p_1^2}{p_3^2}=\dfrac{V_3}{V_1} \Rightarrow \dfrac{p_1}{p_3}=\sqrt{\alpha}\] Температуру можно выразить из уравнения Клапейрона–Менделеева \[pV=\nu R T \Rightarrow T=\dfrac{pV}{\nu R}\] Тогда отношение температур \[\dfrac{T_3}{T_1}=\dfrac{p_3V_3}{p_1V_1}=\dfrac{\alpha}{\sqrt{\alpha}}=\sqrt{\alpha }\]

Ответ: $$\sqrt{\alpha }$$

Задание 3 #15495

На диаграмме зависимости давления \(p\) от объёма \(V\) для некоторой массы идеального газа две изобары и две изохоры пересекаются в точках 1, 2, 3 и 4 (см. рисунок). Найти температуры газа \(T_1\) и \(T_3\) в точках 1 и 3, если точки 2 и 4 лежат на прямой, проходящей через начало координат, а температуры газа в этих точках равны соответственно \(T_2\) и \(T_4\).


Прямая, проходящая через начало координат, описывается уравнением \[p(V)=kV,\] где \(k\) – угол наклона прямой.
Пусть объем при переходе из 4 в 3 возрастает в \(\alpha\) раз, тогда давление в точке 2 станет равно \[p(\alpha V_4)=\alpha k V_4=\alpha p_4\] Запишем также уравнение Клапейрона–Менделеева \[pV=\nu R T\] Откуда следует, что \[p_2V_2=\alpha^2 p_4V_4 \Rightarrow \alpha = \sqrt{\dfrac{T_2}{T_4}} \hspace{ 5 mm} p_1V_1=p_3V_3=\alpha p_4V_4 \Rightarrow T_1=T_3=\alpha T_4=\sqrt{T_2T_4}\]

Ответ: $$\sqrt{T_2T_4}$$

Задание 4 #15496

На диаграмме зависимости давления \(p\) от объёма \(V\) для некоторой массы идеального газа две изотермы пересекаются двумя изохорами в точках 1, 2, 3 и 4 (см. рисунок). Найти отношение давлений \(p_3/p_1\) в точках 3 и 1, если отношение температур в этих точках \(T_3/T_1 = \beta\). Давления газа в точках 2 и 4 равны.


Запишем уравнения изотерм (Закон Бойля–Мариотта) \[p_4V_4=p_3V_3 \hspace{3 mm}p_1V_1=p_2V_2\] Преобразуем с учетом, что на графике есть изотермы и \(p_2=p_4\) \[p_1V_1=p_2V_3 \hspace{3 mm}p_2V_1=p_3V_3 \Rightarrow p_2=\dfrac{p_1V_1}{V_3}=\dfrac{p_3V_3}{V_1} \Rightarrow \dfrac{p_3}{p_1}=\left(\dfrac{V_1}{V_3}\right)^2\quad (1)\] Отношение температур, можно выразить через уравнение Клапейрона–Менделеева \[pV=\nu R T \Rightarrow T =\dfrac{pV}{\nu R} \Rightarrow\dfrac{T_3}{T_1}=\dfrac{p_3V_3}{p_1V_1}\quad (2)\] Объединим (1) и (2) \[\left(\dfrac{V_1}{V_3}\right)^2\dfrac{V_3}{V_1}=\beta \Rightarrow\dfrac{V_1}{V_3}=\beta \Rightarrow \dfrac{V_3}{V_1}=\dfrac{1}{\beta}\] Теперь используем (2) \[\dfrac{p_3}{p_1}\dfrac{1}{\beta }=\beta \Rightarrow \dfrac{p_3}{p_1}=\beta^2\]

Ответ: _β_²

Задание 5 #15497

Диаграмма зависимости давления \(p\) от объёма \(V\) для некоторой массы идеального газа состоит из двух изотерм и двух отрезков прямых, проходящих через начало координат (см. рисунок). Найти объём газа \(V_4\) в состоянии 4, если известны его объёмы \(V_1\), \(V_2\) и \(V_3\) в состояниях 1, 2 и 3 соответственно.


Прямая, проходящая через начало координат, описывается уравнением \[p(V)=kV,\] где \(k\) – угол наклона прямой.
Пусть объем при переходе из 4 в 3 возрастает в \(\alpha\) раз, тогда давление в точке 2 станет равно \[p(\alpha V_4)=\alpha k V_4=\alpha p_4\] Аналогично доказывается для прямой, проходящей через точки 1 и 2. Пусть при переходе из 1 в 2 давление и объем возрастает в \(\beta\) раз. Тогда для процессов 1 – 4 и 2 – 3 можно записать \[p_2V_2=p_3V_3 \hspace{5 mm} p_1V_1=p_4V_4 \Rightarrow \beta^2 p_1V_1=\alpha^2 p_4V_4 \hspace{5 mm} p_1V_1=p_4V_4 \Rightarrow \beta=\alpha\] Запишем уравнение изотермы для 1–4 и выразим искомую величину \[p_1V_1=p_4V_4 \Rightarrow V_4 =V_1 \dfrac{p_1}{p_4}\] Аналогично запишем для 2–3 \[p_2V_2=p_3V_3 \Rightarrow \alpha p_1V_2 = \alpha p_4 V_3 \Rightarrow \dfrac{p_1}{p_4}=\dfrac{V_3}{V_2}\] Объединяем последние два уравнения \[V_4=\dfrac{V_1V_3}{V_2}\]

Ответ: $$\dfrac{V_1V_3}{V_2}$$

Задание 6 #15498

Объём 0,1 литра водорода нагревают при постоянном давлении от 300 до 3000 К. При высоких температурах молекулы водорода распадаются на отдельные атомы. На графике показана зависимость доли распавшихся молекул от температуры. Чему равен конечный объём газа? Ответ дайте в литрах.

“Основная волна 2020 Вариант 4”


Запишем уравнение Клапейрона–Мендлеева для первоначального и конечного состояний: \[pV_1=\nu_1RT_1\] \[pV_2=\nu_2RT_2\] где \(\nu\) – количества вещества, \(T\) – температура, \(V\) – объем.
В данном процессе молекулярый водород (2 атома) распадается а атомарный (1 атом), при этом распадается 20% от начального количества \(\alpha =\dfrac{1}{5}\) при этом из одной молекулы образуется 2 атома водорода, то есть всего образовалось \(2\alpha \nu_1\), тогда количество нераспавшихся молекул равно \((1-\alpha)\nu_1\), откуда количества вещества в конечном состоянии: \[\nu_2=2\alpha\nu_1+(1-\alpha)\nu_1=(1+\alpha)\nu_1 \quad (1)\] Найдем из первых двух уравнений отношение объемов с учетом (1) \[\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{(1+\alpha)\nu_1T_2}{\nu_1T_1}\Rightarrow V_2= 1,2\cdot 0,1\text{ л}\dfrac{3000\text{ К}}{300\text{ К}}=1,2\text{ л}\]

Ответ: 1,2

Задание 7 #15499

Давление воздуха внутри бутылки, закрытой пробкой, равно \(10^5\) Па при температуре 7 \(^\circ\)С. Без нагревания пробку можно вынуть, прикладывая к ней силу 6 Н. На сколько градусов нужно нагреть воздух в бутылке, чтобы из неё вылетела пробка? Площадь поперечного сечения пробки 4 см\(^2\). Изменением размеров бутылки при нагревании пренебречь. Объём бутылки намного больше объёма пробки. Атмосферное давление равно \(10^5\) Па.


Переведем градусы Цельсия в градусы Кельвина: 7 \(^\circ\)С = 280 К
Чтобы пробка вылетела из бутылки, необходимо с помощью дополнительного давления создать силу, равную 5 Н, т.е. \[\Delta p=\dfrac{F}{S}\] где \(\Delta p\) — изменение давления, равное \((p_2 - p_1)\), \(F\) — сила, с которой действуют на тело, \(S\) — площадь приложения силы.
Изначальное давление равно \(p_1=10^5\) Па, тогда после нагрева давление воздуха составит: \[p_2=\Delta p+p_1=\dfrac{F}{S}+p_1\] Процесс, происходящий с воздухом в бутылке, можно рассматривать как изохорный (так как объем бутылки и количество вещества газа не изменяются).
Тогда по закону Шарля: \[\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{p_2}{p_1} \; \; \; \Rightarrow \; \; \; T_2 = T_1\cdot \dfrac{p_2}{p_1}\] где \(T_2\) и \(T_1\) — конечная и начальная абсолютные температуры воздуха соответственно. Найдем температуру воздуха после нагревания: \[T_2=T_1\cdot\dfrac{\dfrac{F}{S}+p_1}{p_1} = T_1\cdot\left(\dfrac{F}{Sp_1}+1\right)\] \[T_2=280\text{ К}\cdot\left(\dfrac{6\text{ Н}}{0,0004\text{ м$^2$}\cdot10^5\text{ Па}}+1\right)=322 \text{ К}\] Найдем, на сколько градусов нужно нагреть воздух в бутылке, чтобы из неё вылетела пробка: \[\Delta T=T_2-T_1= 322\text{ К} - 280\text{ К} = 42 \text{ K}\]

Ответ: 42 К