Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

30. Молекулярная физика (расчетная задача)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Термодинамика

Задание 1 #15538

Один моль одноатомного идеального газа совершает процесс 1–2–3, график которого показан на рисунке в координатах T–V, Известно, что в процессе 1–2 газ совершил работу 3 кДж, а в процессе 2–3 объём газа V увеличился в 2 раза. Какое количество теплоты было сообщено газу в процессе 1–2–3, если его температура Т в состоянии 3 равна 600 К? Ответ дайте в Дж.


1.Проанализируем процессы
1–2 Процесс изотермический, по закон Бойля-Мариотта \[p_1 V_1=p_2V_2\] Значит возрастает объем и давление.
2–3 Температура увеличивается линейно объему, следовательно, процесс изобарный.
2. Количество теплоты, полученное в процессе 1–2–3, равно сумме количеств теплоты, полученных в процессах 1–2 и 2–3. \[Q_{123}=Q_{12}+Q_{23}\] 3. По первому закону термодинамики \[Q=\Delta U +A,\] где \(Q\) – количество теплоты, полученное системой, \(\Delta U\) – изменение внутренней энергии системы, \(A\) – работа газа.
Значит в процессе 1–2 изменение внутренней энергии равно 0, а количество теплоты \[Q_{12}=A_{12}=3 \text{ кДж}\] В процессе 2–3 по условию объем возрос в 2 раза, значит по закону Гей-Люссака \[\dfrac{V_2}{T_2}=\dfrac{V_3}{T_3}\Rightarrow T_2=\dfrac{V_2 T_3}{V_3}= \dfrac{600\text{ К}}{2}=300\text{ К}\] По закону Клапейрона–Менделеева \[pV=\nu R T\] Значит количество теплоты, полученное в процессе 2–3 равно \[Q_{23}=\dfrac{3}{2}\nu R \left(T_3-T_2\right)+p\left( V_3-V_2\right)=\dfrac{3}{2}\nu R \left(T_3-T_2\right)+\nu R \left(T_3-T_2\right)=\dfrac{5}{2}\nu R \left(T_3-T_2\right)\] \[Q_{23}=\dfrac{5}{2}\cdot 1 \text{ моль} \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль $\cdot$ К)}\left( 600 \text{ К}- 300\text{ К}\right)= 6232,5 \text{ Дж}\] А общее количество теплоты \[Q=Q_{12}+Q_{23}=6232,5 \text{ Дж}+ 3000\text{ Дж}=9232,5 \text{ Дж}\]

Ответ: 9232,5

Задание 2 #15535

В гладком вертикальном цилиндре под подвижным поршнем массой \(M\) и площадью \(S\) находится идеальный одноатомный газ. Поршень в равновесии располагается на высоте \(h\) над дном цилиндра. После сообщения газу количества теплоты \(Q\) поршень приподнялся, а газ нагрелся. Найдите, на какой высоте \(H\) над дном цилиндра находится поршень. Давление в окружающей цилиндр среде равно \(p_o\).



Рассматриваемый процесс — изобарный (так как поршень подвижный и количество вещества газа не изменяется).
Запишем первое начало термодинамики для изобарного процесса: \[\; \; \; \; Q = A+\Delta U \; \; \; \; (1)\] где \(A\) — работа газа, \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии газа.
Работа газа и изменение его внутренней энергии равны: \[\; \; \; \; A = p\Delta V \; \; \; \; (2) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Delta U = \dfrac{i}{2}\nu R\Delta T \; \; \; \; (3)\] где \(p\) — давление газа под поршнем, \(\Delta V\) — изменение объема газа, \(i\) — число степеней свободы (для одноатомного газа \(i = 3\)), \(\nu\) — количество вещества газа, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(\Delta T\) — изменение температуры газа.
Подставим (2), (3) в (1): \[Q = p\Delta V + \dfrac{3}{2}\nu R\Delta T\] Для изобарного процесса справедливо равенство: \(p\Delta V = \nu R\Delta T\).
Тогда уравнение (4) примет вид: \[\; \; \; \; Q = p\Delta V + \dfrac{3}{2}p\Delta V = \dfrac{5}{2}p\Delta V \; \; \; \; (5)\] Давление внутри сосуда складывается из атмосферного давления и давления, оказываемого поршнем (так как у него есть масса): \[\; \; \; \; p = p_o + \dfrac{Mg}{S} \; \; \; \; (6)\] где \(g\) — ускорение свободного падения.
Изменение объема, занимаемого газом, после сообщения теплоты равно: \[\; \; \; \; \Delta V = (H-h)S \; \; \; \; (7)\] Подставим (6), (7) в (5) и выразим высоту, на которой будет находиться поршень над дном цилиндра: \[Q = \dfrac{5}{2}\left( p_o + \dfrac{Mg}{S} \right) (H-h)S\] \[H=h+\dfrac{2Q}{5(p_oS+Mg)}\]

Ответ: $H=h+\dfrac{2Q}{5(p_oS+Mg)}$

Задание 3 #15536

Два одинаковых теплоизолированных сосуда соединены короткой трубкой с краном. В первом сосуде находится \(\nu_1\) =3 моль гелия при температуре \(T_1 = 350\) К, во втором \(\nu_2\) = 2 моль аргона при температуре \(T_2 = 400\) К. Кран открывают. В установившемся равновесном состоянии давление в сосудах становится \(p = 6 \) кПа. Определите объём \(V \) одного сосуда. Объёмом трубки пренебречь. Ответ дайте в м\(^3\) и округлите до тысячных.


Так как сосуды теплоизолированные, а газ не совершает работы, то изменение внутренней энергии равно 0, то есть \[U_1+U_2=U\] где \(U_1\) – внутренняя энергия первого сосуда, \(U_2\) – внутренняя энергия второго сосуда, \(U\) – внутренняя энергия сосудов после открытия краника.
Или \[\dfrac{3}{2}\nu_1R T_1+\dfrac{3}{2}\nu_2RT_2=\dfrac{3}{2}\left(\nu_1+\nu_2\right)RT\] Отсюда установившаяся температура \[T=\dfrac{\nu_1T_1+\nu_2T_2}{\nu_1+\nu_2}\] По закону Клапейрона – Менделеева \[p2V=\left(\nu_1+\nu_2\right)RT\] Отсюда объем одного сосуда \[V=\dfrac{\left( \nu_1T_1+\nu_2T_2\right)R}{2p}=\dfrac{\left( 3\text{ моль} \cdot 350\text{ К}+2\text{ моль} \cdot 400\text{ К}\right)\cdot 8,31 \text{ Дж/(моль$\cdot$ К)}}{2\cdot 6\cdot 10^3 \text{ Па}}\approx 1,28\text{ м$^3$ }\]

Ответ: 1,28

Задание 4 #15537

1 моль идеального одноатомного газа сначала изотермически расширили. Затем изохорно нагрели, при этом его давление возросло в 3 раза (см. рисунок). Какое количество теплоты получил газ на участке 2–3, если \(T_1=100\) К? Ответ дайте в Дж.


1. Воспользуемся первым законом термодинамики \[Q=\Delta U+A,\] где \(Q\) – количество теплоты, полученное системой, \(\Delta U\) – изменение внутренней энергии системы, \(A\) – работа газа.
Так как процесс изохорный, то работа газа равна 0. Распишем изменение внутренней энергии и получим \[Q=\dfrac{3}{2}\nu R \Delta T=\dfrac{3}{2}\nu R \left(T_3-T_2\right)\] 2. Воспользуемся законом Шарля \[\dfrac{p_2}{T_2}=\dfrac{p_3}{T_3} \Rightarrow T_3=\dfrac{p_3 T_2}{p_2}=3T_2\] 3. По условию процесс 1–2 изотермический, значит \[T_1=T_2\] Следовательно, первый закон термодинамики выглядит \[Q=\dfrac{3}{2}\nu R \left(3T_1-T_1\right)=3\nu R T_1= 3\cdot 1 \text{ моль} \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль $\cdot$ К)}\cdot 100\text{ К}=2493\text{ Дж}\]

Ответ: 2493

Задание 5 #15540

Одно и то же постоянное количество одноатомного идеального газа расширяется из одного и того же начального состояния \(p_1\), \(V_1 \) до одного и того же конечного объёма \(V_2\) первый раз по изобаре 1–2, а второй – по адиабате 1–3 (см. рисунок). Отношение количества теплоты \(Q_{12}\), полученного газом от нагревателя в ходе процесса 1–2, к модулю изменения внутренней энергии газа в ходе процесса 1–3 равно k = 5. Определите отношение \(\dfrac{A_{12}}{A_{13}}\) работы газа в процессе 1–2 к работе газа в процессе 1–3.


Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева \[pV=\nu RT\] По первому закону термодинамики количество теплоты, полученное телом в процессе 1–2 равно \[Q=\Delta U +A,\] где \(Q\) – количество теплоты, полученное системой, \(\Delta U\) – изменение внутренней энергии системы, \(A\) – работа газа.
Или с учетом уравнения Клапейрона–Менделеева \[Q_{12}=U_2-U_1+A=\dfrac{3}{2}\left(\nu RT_2-\nu R T_1\right)+ p_1 \left(V_2-V_1\right) =\dfrac{3}{2} p_1 \left(V_2-V_1\right)+ p_1 \left(V_2-V_1\right)=\dfrac{5}{2} p_1 \left(V_2-V_1\right)=\dfrac{5}{2}A_{12}\] Процесс 1–3 адиабатный, значит, работа газа равна \[A_{13}=|\Delta U{13}|=|U_3-U_1|\] \[\dfrac{A_12}{A_13}=\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{Q_{12}}{|U_3-U_1|}=\dfrac{2}{5}\cdot 5 =2\]

Ответ: 2

Задание 6 #15541

В тепловом двигателе 2 моль гелия совершают цикл 1–2–3–4–1, показанный на графике в координатах \(р—Т\), где\( р\) – давление газа,\( Т \) – абсолютная температура. Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 2 раза. Определите КПД цикла.


1. КПД находится по формуле: \[\eta=\dfrac{A}{Q}\] где \(A\) – работа газа, \(Q\) – количество теплоты, полученное нагревателем.
2.Перерисуем данный график в координатах \(p-V\) 3. Проанализируем график, цикл состоит из двух изохор, 1-2 и 3-4, и двух изобар, 2-3 и 4-1 (см. рисунок цикла в координатах p-V).
Согласно закону Шарля и условию, что \(2T_1=T_2\) \[\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2} \Rightarrow 2p_1=p_3=p_2\] Согласно закону Гей-Люссака и условию, что \(T_4=T_2=2T_1\) \[\dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_4}{T_4} \Rightarrow V_3 = V_4 = 2V_1\] 4.Работа, совершённая газом за цикл, численно равна площади фигуры под графиком в координатах \(p-V\) \[A=(p_2-p_-1)(V_4-V_2)=p_1V_1\] 5. Газ получает положительное количество теплоты на участках 1–2 и 2–3 \[Q=Q_{12}+Q_{23}\] 6. По первому закону термодинамики количество теплоты, полученное телом в процессе 1–2 равно изменению внутренней энергии в этом процессе \[Q_{12}=\Delta U_{12} =\dfrac{3}{2} \left(\nu RT_2-\nu RT_1\right)=\dfrac{3}{2} \nu R T_1,\] Для процесса 2–3 первый закон термодинамики выглядит следующим образом \[Q_23=\Delta U_{23}+A_{23}=\dfrac{3}{2} \left(\nu RT_3-\nu RT_2\right)+p_2\left(V_3-V_2\right)\] С учетом уравнения Клапейрона–Менделеева \[pV=\nu R T\] получим \[Q_{12}=\dfrac{3}{2}p_1V_1 \hspace{10 mm} Q_{23}=5p_1V_1\] 7. Тогда КПД равен \[\eta=\dfrac{pV_1}{\dfrac{3}{2}p_1V_1 +5p_1V_1 }\approx 15,4 \%\]

Ответ: 15,4

Задание 7 #15534

Цикл тепловой машины, рабочим веществом которой является \(\nu\) молей идеального одноатомного газа, состоит из изотермического расширения, изохорного охлаждения и адиабатического сжатия. Работа, совершённая газом в изотермическом процессе, равна \(A\), а КПД тепловой машины равен \(\eta\). Максимальная температура в этом цикле равна \(T_o\). Определите минимальную температуру \(T\) в этом циклическом процессе.


Процессы:
1-2 — изотермический
2-3 — изохорный
3-1 — адиабатический
КПД тепловой машины равен: \[\; \; \; \; \eta = \dfrac{A_\text{ц}}{Q_\text{н}} \; \; \; \; (1)\] где \(A_\text{ц}\) — работа, совершенная газом за цикл, \(Q_\text{н}\) — количество теплоты, полученное газом от нагревателя.
Работа газа за цикл есть сумма работ газа в каждом процессе: \[A_\text{ц} = A_{1-2} + A_{2-3} + A_{3-1}\] Так как в процессе 2-3 объем газа постоянен, то его работа равна нулю.
Тогда работа газа за цикл равна: \[\; \; \; \; A_\text{ц} = A_{1-2} + A_{3-1} \; \; \; \; (2)\] Далее необходимо найти количество теплоты \(Q_\text{н}\), полученное газом от нагревателя.
Для этого запишем первое начало термодинамики для каждого процесса.
Процесс 1-2: \[Q_{1-2} = A_{1-2} + \Delta U_{1-2}\] Так как процесс 1-2 изотермический, то изменение внутренней энергии газа \(\Delta U_{1-2}\) равно нулю.
Объем газа увеличивается, следовательно, газ совершает положительную работу.
Отсюда получаем, что: \[Q_{1-2} = A_{1-2} > 0 \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; Q_{1-2} > 0\] Процесс 2-3: \[Q_{2-3} = A_{2-3} + \Delta U_{2-3}\] Так как процесс 2-3 изохорный, то работа газа \(A_{2-3}\) равна нулю.
Давление газа уменьшается, следовательно, его температура также уменьшается (для изохорного процесса \(p \sim T\)).
Следовательно, изменение внутренней энергии газа отрицательно.
Отсюда получаем, что: \[Q_{2-3} = \Delta U_{2-3} < 0 \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; Q_{2-3} < 0\] Процесс 3-1:
Так как процесс 3-1 адиабатный, то \(Q_{3-1} = 0\): \[\; \; \; \; Q_{3-1} = A_{3-1} + \Delta U_{3-1} \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; A_{3-1} = - \Delta U_{3-1} \; \; \; \; (3)\] Таким образом, количество теплоты, полученное газом от нагревателя равно: \[Q_\text{н} = Q_{1-2}\] \[\; \; \; \; Q_\text{н} = A_{1-2} \; \; \; \; (4)\] Подставим (2), (4) в (1): \[\eta = \dfrac{A_{1-2} + A_{3-1}}{A_{1-2}}\] \[\; \; \; \; \eta = 1 + \dfrac{A_{3-1}}{A_{1-2}} \; \; \; \; (5)\] Подставим (3) в (5): \[\; \; \; \; \eta = 1 - \dfrac{\Delta U_{3-1}}{A_{1-2}} \; \; \; \; (6)\] Изменение внутренней энергии газа в процессе 3-1 равно: \[\; \; \; \; \Delta U_{2-3} = \dfrac{3}{2}\nu R(T_1 - T_3) \; \; \; \; (7)\] где \(R\) — универсальная газовая постоянная.
Подставим (7) в (6) и выразим искомую температуру: \[\eta = 1 - \dfrac{\dfrac{3}{2}\nu R(T_1 - T_3)}{A_{1-2}}\] \[T_3 = T_1 - \dfrac{2}{3\nu R} (1 - \eta)A_{1-2}\] Температура \(T_1\) является максимальной в этом цикле, так как точка 1 на графике принадлежит изотерме 1-2, которая лежит выше, чем изотерма, проведенная через точку 3: \(T_1 = T_o\).
Следовательно, температура \(T_3\) является минимальной: \(T_3 = T\).
Работа \(A_{1-2}\) совершена газом в изотермическом процессе: \(A_{1-2} = A\).
Таким образом, искомая температура равна: \[T = T_o - \dfrac{2}{3\nu R} (1 - \eta)A\]

Ответ: $T=T_o-\dfrac{2}{3\nu R}(1-\eta)A$