Процессы:
1-2 — изотермический
2-3 — изохорный
3-1 — адиабатический
КПД тепловой машины равен: \[\; \; \; \; \eta = \dfrac{A_\text{ц}}{Q_\text{н}} \; \; \; \; (1)\] где \(A_\text{ц}\) — работа, совершенная газом за цикл, \(Q_\text{н}\) — количество теплоты, полученное газом от нагревателя.
Работа газа за цикл есть сумма работ газа в каждом процессе: \[A_\text{ц} = A_{1-2} + A_{2-3} + A_{3-1}\] Так как в процессе 2-3 объем газа постоянен, то его работа равна нулю.
Тогда работа газа за цикл равна: \[\; \; \; \; A_\text{ц} = A_{1-2} + A_{3-1} \; \; \; \; (2)\] Далее необходимо найти количество теплоты \(Q_\text{н}\), полученное газом от нагревателя.
Для этого запишем первое начало термодинамики для каждого процесса.
Процесс 1-2: \[Q_{1-2} = A_{1-2} + \Delta U_{1-2}\] Так как процесс 1-2 изотермический, то изменение внутренней энергии газа \(\Delta U_{1-2}\) равно нулю.
Объем газа увеличивается, следовательно, газ совершает положительную работу.
Отсюда получаем, что: \[Q_{1-2} = A_{1-2} > 0 \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; Q_{1-2} > 0\] Процесс 2-3: \[Q_{2-3} = A_{2-3} + \Delta U_{2-3}\] Так как процесс 2-3 изохорный, то работа газа \(A_{2-3}\) равна нулю.
Давление газа уменьшается, следовательно, его температура также уменьшается (для изохорного процесса \(p \sim T\)).
Следовательно, изменение внутренней энергии газа отрицательно.
Отсюда получаем, что: \[Q_{2-3} = \Delta U_{2-3} < 0 \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; Q_{2-3} < 0\] Процесс 3-1:
Так как процесс 3-1 адиабатный, то \(Q_{3-1} = 0\): \[\; \; \; \; Q_{3-1} = A_{3-1} + \Delta U_{3-1} \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; A_{3-1} = - \Delta U_{3-1} \; \; \; \; (3)\] Таким образом, количество теплоты, полученное газом от нагревателя равно: \[Q_\text{н} = Q_{1-2}\] \[\; \; \; \; Q_\text{н} = A_{1-2} \; \; \; \; (4)\] Подставим (2), (4) в (1): \[\eta = \dfrac{A_{1-2} + A_{3-1}}{A_{1-2}}\] \[\; \; \; \; \eta = 1 + \dfrac{A_{3-1}}{A_{1-2}} \; \; \; \; (5)\] Подставим (3) в (5): \[\; \; \; \; \eta = 1 - \dfrac{\Delta U_{3-1}}{A_{1-2}} \; \; \; \; (6)\] Изменение внутренней энергии газа в процессе 3-1 равно: \[\; \; \; \; \Delta U_{2-3} = \dfrac{3}{2}\nu R(T_1 - T_3) \; \; \; \; (7)\] где \(R\) — универсальная газовая постоянная.
Подставим (7) в (6) и выразим искомую температуру: \[\eta = 1 - \dfrac{\dfrac{3}{2}\nu R(T_1 - T_3)}{A_{1-2}}\] \[T_3 = T_1 - \dfrac{2}{3\nu R} (1 - \eta)A_{1-2}\] Температура \(T_1\) является максимальной в этом цикле, так как точка 1 на графике принадлежит изотерме 1-2, которая лежит выше, чем изотерма, проведенная через точку 3: \(T_1 = T_o\).
Следовательно, температура \(T_3\) является минимальной: \(T_3 = T\).
Работа \(A_{1-2}\) совершена газом в изотермическом процессе: \(A_{1-2} = A\).
Таким образом, искомая температура равна: \[T = T_o - \dfrac{2}{3\nu R} (1 - \eta)A\]
Ответ: $T=T_o-\dfrac{2}{3\nu R}(1-\eta)A$