Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

30. Молекулярная физика (расчетная задача)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Термодинамика (страница 2)

Задание 8 #15533

В вертикальном цилиндре, закрытом лёгким поршнем, находится бензол \((C_6H_6)\) при температуре кипения \(t =80^\circ C\). При сообщении бензолу некоторого количества теплоты часть его превращается в пар, который при изобарном расширении совершает работу, поднимая поршень. Удельная теплота парообразования бензола \( L = 396\cdot 10^3 \)Дж/кг, а его молярная масса \(M =78\cdot 10^{-3}\) – кг/моль. Какая часть подводимого к бензолу количества теплоты идёт на увеличение внутренней энергии системы? Объёмом жидкого бензола и трением между поршнем и цилиндром пренебречь. “Досрочная волна 2020 вариант 1”


По первому закону термодинамики \[Q=\Delta U+A,\quad (1)\] \(Q\) – количество теплоты, полученное системой, \(\Delta U\) – изменение внутренней энергии, \(A\) – работа газа.
А количество теплоты, полученное системой равно \[Q=Lm,\quad (2)\] где \(m\) – масса образовавшегося пара.
Так как процесс испарения прошел не до конца, то данный процесс изотермический, а значит работа газа будет совершаться за счет изменения массы пара \[A=\dfrac{m}{M}RT,\quad (3)\] где \(T\) – температура газа в Кельвинах.
Объединим (1), (2) и (3) и найдем отношение \(\dfrac{\Delta U}{Q}\) \[\dfrac{\Delta U}{Q}=\dfrac{Q-A}{Q}=1-\dfrac{\dfrac{m}{M}RT}{Lm}=\dfrac{RT}{LM}=\dfrac{8,31 \text{ Дж/(К$\cdot$моль)}\cdot (273+80)\text{ К}}{396\cdot 10^3\text{ Дж/кг}\cdot 78\cdot 10^{-3}\text{ кг/моль}}\approx 90,5 \%\]

Ответ: 90,5

Задание 9 #15534

Цикл тепловой машины, рабочим веществом которой является \(\nu\) молей идеального одноатомного газа, состоит из изотермического расширения, изохорного охлаждения и адиабатического сжатия. Работа, совершённая газом в изотермическом процессе, равна \(A\), а КПД тепловой машины равен \(\eta\). Максимальная температура в этом цикле равна \(T_o\). Определите минимальную температуру \(T\) в этом циклическом процессе.


Процессы:
1-2 — изотермический
2-3 — изохорный
3-1 — адиабатический
КПД тепловой машины равен: \[\; \; \; \; \eta = \dfrac{A_\text{ц}}{Q_\text{н}} \; \; \; \; (1)\] где \(A_\text{ц}\) — работа, совершенная газом за цикл, \(Q_\text{н}\) — количество теплоты, полученное газом от нагревателя.
Работа газа за цикл есть сумма работ газа в каждом процессе: \[A_\text{ц} = A_{1-2} + A_{2-3} + A_{3-1}\] Так как в процессе 2-3 объем газа постоянен, то его работа равна нулю.
Тогда работа газа за цикл равна: \[\; \; \; \; A_\text{ц} = A_{1-2} + A_{3-1} \; \; \; \; (2)\] Далее необходимо найти количество теплоты \(Q_\text{н}\), полученное газом от нагревателя.
Для этого запишем первое начало термодинамики для каждого процесса.
Процесс 1-2: \[Q_{1-2} = A_{1-2} + \Delta U_{1-2}\] Так как процесс 1-2 изотермический, то изменение внутренней энергии газа \(\Delta U_{1-2}\) равно нулю.
Объем газа увеличивается, следовательно, газ совершает положительную работу.
Отсюда получаем, что: \[Q_{1-2} = A_{1-2} > 0 \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; Q_{1-2} > 0\] Процесс 2-3: \[Q_{2-3} = A_{2-3} + \Delta U_{2-3}\] Так как процесс 2-3 изохорный, то работа газа \(A_{2-3}\) равна нулю.
Давление газа уменьшается, следовательно, его температура также уменьшается (для изохорного процесса \(p \sim T\)).
Следовательно, изменение внутренней энергии газа отрицательно.
Отсюда получаем, что: \[Q_{2-3} = \Delta U_{2-3} < 0 \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; Q_{2-3} < 0\] Процесс 3-1:
Так как процесс 3-1 адиабатный, то \(Q_{3-1} = 0\): \[\; \; \; \; Q_{3-1} = A_{3-1} + \Delta U_{3-1} \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; A_{3-1} = - \Delta U_{3-1} \; \; \; \; (3)\] Таким образом, количество теплоты, полученное газом от нагревателя равно: \[Q_\text{н} = Q_{1-2}\] \[\; \; \; \; Q_\text{н} = A_{1-2} \; \; \; \; (4)\] Подставим (2), (4) в (1): \[\eta = \dfrac{A_{1-2} + A_{3-1}}{A_{1-2}}\] \[\; \; \; \; \eta = 1 + \dfrac{A_{3-1}}{A_{1-2}} \; \; \; \; (5)\] Подставим (3) в (5): \[\; \; \; \; \eta = 1 - \dfrac{\Delta U_{3-1}}{A_{1-2}} \; \; \; \; (6)\] Изменение внутренней энергии газа в процессе 3-1 равно: \[\; \; \; \; \Delta U_{2-3} = \dfrac{3}{2}\nu R(T_1 - T_3) \; \; \; \; (7)\] где \(R\) — универсальная газовая постоянная.
Подставим (7) в (6) и выразим искомую температуру: \[\eta = 1 - \dfrac{\dfrac{3}{2}\nu R(T_1 - T_3)}{A_{1-2}}\] \[T_3 = T_1 - \dfrac{2}{3\nu R} (1 - \eta)A_{1-2}\] Температура \(T_1\) является максимальной в этом цикле, так как точка 1 на графике принадлежит изотерме 1-2, которая лежит выше, чем изотерма, проведенная через точку 3: \(T_1 = T_o\).
Следовательно, температура \(T_3\) является минимальной: \(T_3 = T\).
Работа \(A_{1-2}\) совершена газом в изотермическом процессе: \(A_{1-2} = A\).
Таким образом, искомая температура равна: \[T = T_o - \dfrac{2}{3\nu R} (1 - \eta)A\]

Ответ: $T=T_o-\dfrac{2}{3\nu R}(1-\eta)A$

Задание 10 #15535

В гладком вертикальном цилиндре под подвижным поршнем массой \(M\) и площадью \(S\) находится идеальный одноатомный газ. Поршень в равновесии располагается на высоте \(h\) над дном цилиндра. После сообщения газу количества теплоты \(Q\) поршень приподнялся, а газ нагрелся. Найдите, на какой высоте \(H\) над дном цилиндра находится поршень. Давление в окружающей цилиндр среде равно \(p_o\).



Рассматриваемый процесс — изобарный (так как поршень подвижный и количество вещества газа не изменяется).
Запишем первое начало термодинамики для изобарного процесса: \[\; \; \; \; Q = A+\Delta U \; \; \; \; (1)\] где \(A\) — работа газа, \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии газа.
Работа газа и изменение его внутренней энергии равны: \[\; \; \; \; A = p\Delta V \; \; \; \; (2) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Delta U = \dfrac{i}{2}\nu R\Delta T \; \; \; \; (3)\] где \(p\) — давление газа под поршнем, \(\Delta V\) — изменение объема газа, \(i\) — число степеней свободы (для одноатомного газа \(i = 3\)), \(\nu\) — количество вещества газа, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(\Delta T\) — изменение температуры газа.
Подставим (2), (3) в (1): \[Q = p\Delta V + \dfrac{3}{2}\nu R\Delta T\] Для изобарного процесса справедливо равенство: \(p\Delta V = \nu R\Delta T\).
Тогда уравнение (4) примет вид: \[\; \; \; \; Q = p\Delta V + \dfrac{3}{2}p\Delta V = \dfrac{5}{2}p\Delta V \; \; \; \; (5)\] Давление внутри сосуда складывается из атмосферного давления и давления, оказываемого поршнем (так как у него есть масса): \[\; \; \; \; p = p_o + \dfrac{Mg}{S} \; \; \; \; (6)\] где \(g\) — ускорение свободного падения.
Изменение объема, занимаемого газом, после сообщения теплоты равно: \[\; \; \; \; \Delta V = (H-h)S \; \; \; \; (7)\] Подставим (6), (7) в (5) и выразим высоту, на которой будет находиться поршень над дном цилиндра: \[Q = \dfrac{5}{2}\left( p_o + \dfrac{Mg}{S} \right) (H-h)S\] \[H=h+\dfrac{2Q}{5(p_oS+Mg)}\]

Ответ: $H=h+\dfrac{2Q}{5(p_oS+Mg)}$

Задание 11 #15536

Два одинаковых теплоизолированных сосуда соединены короткой трубкой с краном. В первом сосуде находится \(\nu_1\) =3 моль гелия при температуре \(T_1 = 350\) К, во втором \(\nu_2\) = 2 моль аргона при температуре \(T_2 = 400\) К. Кран открывают. В установившемся равновесном состоянии давление в сосудах становится \(p = 6 \) кПа. Определите объём \(V \) одного сосуда. Объёмом трубки пренебречь. Ответ дайте в м\(^3\) и округлите до тысячных.


Так как сосуды теплоизолированные, а газ не совершает работы, то изменение внутренней энергии равно 0, то есть \[U_1+U_2=U\] где \(U_1\) – внутренняя энергия первого сосуда, \(U_2\) – внутренняя энергия второго сосуда, \(U\) – внутренняя энергия сосудов после открытия краника.
Или \[\dfrac{3}{2}\nu_1R T_1+\dfrac{3}{2}\nu_2RT_2=\dfrac{3}{2}\left(\nu_1+\nu_2\right)RT\] Отсюда установившаяся температура \[T=\dfrac{\nu_1T_1+\nu_2T_2}{\nu_1+\nu_2}\] По закону Клапейрона – Менделеева \[p2V=\left(\nu_1+\nu_2\right)RT\] Отсюда объем одного сосуда \[V=\dfrac{\left( \nu_1T_1+\nu_2T_2\right)R}{2p}=\dfrac{\left( 3\text{ моль} \cdot 350\text{ К}+2\text{ моль} \cdot 400\text{ К}\right)\cdot 8,31 \text{ Дж/(моль$\cdot$ К)}}{2\cdot 6\cdot 10^3 \text{ Па}}\approx 1,28\text{ м$^3$ }\]

Ответ: 1,28

Задание 12 #15537

1 моль идеального одноатомного газа сначала изотермически расширили. Затем изохорно нагрели, при этом его давление возросло в 3 раза (см. рисунок). Какое количество теплоты получил газ на участке 2–3, если \(T_1=100\) К? Ответ дайте в Дж.


1. Воспользуемся первым законом термодинамики \[Q=\Delta U+A,\] где \(Q\) – количество теплоты, полученное системой, \(\Delta U\) – изменение внутренней энергии системы, \(A\) – работа газа.
Так как процесс изохорный, то работа газа равна 0. Распишем изменение внутренней энергии и получим \[Q=\dfrac{3}{2}\nu R \Delta T=\dfrac{3}{2}\nu R \left(T_3-T_2\right)\] 2. Воспользуемся законом Шарля \[\dfrac{p_2}{T_2}=\dfrac{p_3}{T_3} \Rightarrow T_3=\dfrac{p_3 T_2}{p_2}=3T_2\] 3. По условию процесс 1–2 изотермический, значит \[T_1=T_2\] Следовательно, первый закон термодинамики выглядит \[Q=\dfrac{3}{2}\nu R \left(3T_1-T_1\right)=3\nu R T_1= 3\cdot 1 \text{ моль} \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль $\cdot$ К)}\cdot 100\text{ К}=2493\text{ Дж}\]

Ответ: 2493

Задание 13 #15538

Один моль одноатомного идеального газа совершает процесс 1–2–3, график которого показан на рисунке в координатах T–V, Известно, что в процессе 1–2 газ совершил работу 3 кДж, а в процессе 2–3 объём газа V увеличился в 2 раза. Какое количество теплоты было сообщено газу в процессе 1–2–3, если его температура Т в состоянии 3 равна 600 К? Ответ дайте в Дж.


1.Проанализируем процессы
1–2 Процесс изотермический, по закон Бойля-Мариотта \[p_1 V_1=p_2V_2\] Значит возрастает объем и давление.
2–3 Температура увеличивается линейно объему, следовательно, процесс изобарный.
2. Количество теплоты, полученное в процессе 1–2–3, равно сумме количеств теплоты, полученных в процессах 1–2 и 2–3. \[Q_{123}=Q_{12}+Q_{23}\] 3. По первому закону термодинамики \[Q=\Delta U +A,\] где \(Q\) – количество теплоты, полученное системой, \(\Delta U\) – изменение внутренней энергии системы, \(A\) – работа газа.
Значит в процессе 1–2 изменение внутренней энергии равно 0, а количество теплоты \[Q_{12}=A_{12}=3 \text{ кДж}\] В процессе 2–3 по условию объем возрос в 2 раза, значит по закону Гей-Люссака \[\dfrac{V_2}{T_2}=\dfrac{V_3}{T_3}\Rightarrow T_2=\dfrac{V_2 T_3}{V_3}= \dfrac{600\text{ К}}{2}=300\text{ К}\] По закону Клапейрона–Менделеева \[pV=\nu R T\] Значит количество теплоты, полученное в процессе 2–3 равно \[Q_{23}=\dfrac{3}{2}\nu R \left(T_3-T_2\right)+p\left( V_3-V_2\right)=\dfrac{3}{2}\nu R \left(T_3-T_2\right)+\nu R \left(T_3-T_2\right)=\dfrac{5}{2}\nu R \left(T_3-T_2\right)\] \[Q_{23}=\dfrac{5}{2}\cdot 1 \text{ моль} \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль $\cdot$ К)}\left( 600 \text{ К}- 300\text{ К}\right)= 6232,5 \text{ Дж}\] А общее количество теплоты \[Q=Q_{12}+Q_{23}=6232,5 \text{ Дж}+ 3000\text{ Дж}=9232,5 \text{ Дж}\]

Ответ: 9232,5

Задание 14 #15539

На рисунке показан циклический процесс постоянное количество одноатомного газа. Работу, которую совершают внешние силы при переходе газа из состояния 2 в состояние 3, равна 5 кДж. Какое количество теплоты газ отдаёт за цикл холодильнику? Ответ дайте в кДж


Работа внешних сил в процессе 2–3 равна площади под графиком. \[A_{23}=\dfrac{p_0+2p_0}{2}\left(3V_0-V_0\right)=3p_0V_0\] \(p\) – давление, \(V\) – объем газа, \(\nu\) – количество вещества, \(T\) – температура газа в Кельвинах.
Воспользуемся первым законом термодинамики \[|Q_{\text{ хол}}|=|Q_{23}|=\Delta U_{23}+A_{32}=\dfrac{3}{2}\left( \nu R T_2 -\nu R T_3\right)+ 3p_0V_0\quad (1)\] Также по уравнению Клапейрона – Менделеева \[p_2V_2=\nu R T_2= 2p_0 \cdot 3V_0 =6p_0V_0 \quad (2)\] \[p_2V_2=\nu R T_3=p_0V_0 \quad (3)\] Подставим в (1) формулы (2) и (3) \[|Q_{\text{ хол}}|=\dfrac{3}{2}\left(6p_0V_0-p_0V_0\right)+3p_0V_0= \dfrac{21}{2}p_0V_0=\dfrac{7}{2}A_{23}=3,5 \cdot 5\text{ кДж} =17,5\text{ кДж}\]

Ответ: 17,5