Воздушный шар, оболочка которого имеет массу \(M\) = 145 кг и объём \(V\) = 230 м\(^3\), наполняется при нормальном атмосферном давлении горячим воздухом, нагретым до температуры \(t\) = 265 \(^{\circ}\)С. Определите максимальную температуру \(t_o\) окружающего воздуха, при которой шар начнёт подниматься. Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие (см. рисунок).
“Демоверсия 2019”
Покажем на рисунке все силы, действущие на воздушный шар и введем вертикальную ось \(y\):
Рассмотрим предельный случай, когда шар вот-вот оторвется от поверхности земли, и запишем для него второй закон Ньютона: \[\vec{F}_\text{Арх} + m\vec{g} +M\vec{g} = 0\] где \(F_\text{Арх}\) — выталкивающая сила, \(m\) — масса горячего воздуха, \(g\) — ускорение свободного падения.
Спроецируем второй закон Ньютона на ось \(y\), направленную вертикально вверх: \[\; \; \; \; F_\text{Арх} - mg-Mg = 0 \; \; \; \; (1)\] Выталкивающая сила равна: \[\; \; \; \; F_\text{Арх} = \rho_o gV \; \; \; \; (2)\] где \(\rho_o\) — плотность холодного воздуха, \(V\) — объем шара.
Подставим (2) в (1) и разделим на \(g\): \[\; \; \; \; \rho_o V - m - M = 0 \; \; \; \; (3)\] Заметим, что \(\rho_o V = m_o\), где \(m_o\) — масса холодного воздуха.
Тогда уравнение (3) будет иметь вид: \[\; \; \; \; m_o - m - M = 0 \; \; \; \; (4)\] Чтобы найти массы горячей и холодного воздуха, запишем для них уравнение Менделеева – Клапейрона: \[\; \; \; \; p_oV = \dfrac{m}{Mr}RT \; \; \; \Rightarrow \; \; \; m = \dfrac{p_o VMr}{RT} \; \; \; \; (5)\] \[\; \; \; \; p_oV = \dfrac{m_o}{Mr}RT_o \; \; \; \Rightarrow \; \; \; m_o = \dfrac{p_o VMr}{RT_o} \; \; \; \; (6)\] где \(p_o\) — атмосферное давление, \(Mr\) — молярная масса воздуха, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) \(T_o\) — абсолютные температуры горячего и холодного воздуха соответственно.
Подставим (5), (6) в (4) и выразим максимальную температуру окружающего воздуха, при которой шар начнет подниматься: \[\dfrac{p_o VMr}{RT_o} - \dfrac{p_o VMr}{RT} - M = 0 \; \; \; / :\dfrac{p_o VMr}{RT}\] \[\dfrac{1}{T_o} - \dfrac{1}{T} - \dfrac{MR}{p_oVMr} = 0\] \[T_o=\dfrac{\mu p_oVT}{\mu p_oV+MRT}\] \[T_o = \dfrac{0,029\text{ кг/моль}\cdot10^5\text{ Па}\cdot230\text{ м}^3\cdot(265+273)\text{ К}}{0,029\text{ кг/моль}\cdot10^5\text{ Па}\cdot230\text{ м}^3+145\text{ кг}\cdot8,31\text{ Дж/(моль$\cdot$К)}\cdot(265+273)\text{ К}}\approx273 \text{ К}=0^{\circ}\text{С}\]
Ответ: 0 ∘С (273 К)