Смешанные задачи

Покажем на рисунке все силы, действущие на воздушный шар и введем вертикальную ось \(y\):

Рассмотрим предельный случай, когда шар вот-вот оторвется от поверхности земли, и запишем для него второй закон Ньютона: \[\vec{F}_\text{Арх} + m\vec{g} +M\vec{g} = 0\] где \(F_\text{Арх}\) — выталкивающая сила, \(m\) — масса горячего воздуха, \(g\) — ускорение свободного падения.
Спроецируем второй закон Ньютона на ось \(y\), направленную вертикально вверх: \[\; \; \; \; F_\text{Арх} - mg-Mg = 0 \; \; \; \; (1)\] Выталкивающая сила равна: \[\; \; \; \; F_\text{Арх} = \rho_o gV \; \; \; \; (2)\] где \(\rho_o\) — плотность холодного воздуха, \(V\) — объем шара.
Подставим (2) в (1) и разделим на \(g\): \[\; \; \; \; \rho_o V - m - M = 0 \; \; \; \; (3)\] Заметим, что \(\rho_o V = m_o\), где \(m_o\) — масса холодного воздуха.
Тогда уравнение (3) будет иметь вид: \[\; \; \; \; m_o - m - M = 0 \; \; \; \; (4)\] Чтобы найти массы горячей и холодного воздуха, запишем для них уравнение Менделеева – Клапейрона: \[\; \; \; \; p_oV = \dfrac{m}{Mr}RT \; \; \; \Rightarrow \; \; \; m = \dfrac{p_o VMr}{RT} \; \; \; \; (5)\] \[\; \; \; \; p_oV = \dfrac{m_o}{Mr}RT_o \; \; \; \Rightarrow \; \; \; m_o = \dfrac{p_o VMr}{RT_o} \; \; \; \; (6)\] где \(p_o\) — атмосферное давление, \(Mr\) — молярная масса воздуха, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) \(T_o\) — абсолютные температуры горячего и холодного воздуха соответственно.
Подставим (5), (6) в (4) и выразим максимальную температуру окружающего воздуха, при которой шар начнет подниматься: \[\dfrac{p_o VMr}{RT_o} - \dfrac{p_o VMr}{RT} - M = 0 \; \; \; / :\dfrac{p_o VMr}{RT}\] \[\dfrac{1}{T_o} - \dfrac{1}{T} - \dfrac{MR}{p_oVMr} = 0\] \[T_o=\dfrac{\mu p_oVT}{\mu p_oV+MRT}\] \[T_o = \dfrac{0,029\text{ кг/моль}\cdot10^5\text{ Па}\cdot230\text{ м}^3\cdot(265+273)\text{ К}}{0,029\text{ кг/моль}\cdot10^5\text{ Па}\cdot230\text{ м}^3+145\text{ кг}\cdot8,31\text{ Дж/(моль$\cdot$К)}\cdot(265+273)\text{ К}}\approx273 \text{ К}=0^{\circ}\text{С}\]

Ответ: 0 ∘С (273 К)

Так как по условию задачи система замкнута, то внутренняя энергия ее неизменна. Поэтому равновесное состояние системы будет устанавливаться при передаче тепла газу от более горячего куска железа. По первому закону термодинамики: \[\Delta U=Q-A,\] где \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии, \(Q\) — количество теплоты, которое подводили к телу, \(A\) — работа газа.
В данном случае работа газа равна нулю, так как \(V=const\). Уравнение теплового баланса в этом случае имеет вид: \[\dfrac{3}{2}\nu R(T-T_o)=cm(T_1-T), \hspace{7 mm} (1)\] где \(\nu\) — количество вещества газа, \(R\) — универсальная газовая постоянная.
Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона: \[p_oV_o=\nu R T_o\] Выразим отсюда: \[\hspace{5 mm} \nu R=\dfrac{p_oV_o}{T_o} \hspace{7 mm} (2)\] Выразим из (1) температуру газа \(T\): \[T=\dfrac{cmT_1+1,5\nu RT_0}{cm+1,5\nu R}\hspace{5 mm} (3)\] Так как объем постоянен и количество вещества газа не меняется, то по закону Шарля: \[\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_o}{T_o}\hspace{3 mm} \Rightarrow \hspace{3 mm} p_1=p_o\cdot\dfrac{T}{T_o}\hspace{5 mm} (4)\] Подставим (3) в (4): \[p_1=p_o\cdot\dfrac{cmT_1+1,5\nu RT_o}{T_o(cm+1,5\nu R)}\hspace{5 mm} (5)\] Подставим (2) в (5): \[p_1=p_o\cdot\dfrac{cmT_1+1,5\dfrac{p_oV_o}{T_o}T_o}{T_o\left(cm+1,5\dfrac{p_oV_o}{T_o}\right)} = p_o\cdot\dfrac{cmT_1+1,5p_oV_o}{T_ocm+1,5p_oV_o}\] Найдем давление газа в равновесном состоянии: \[p_1 = 10^5 \text{ Па}\cdot\dfrac{450\text{ Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\cdot2 \text{ кг} \cdot500 \text{ К}+1,5\cdot10^5\text{ Па}\cdot10^{-2}\text{ м$^3$}}{300\text{ К}\cdot450\text{ Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\cdot2 \text{ кг}+1,5\cdot10^5\text{ Па}\cdot10^{-2}\text{ м$^3$}} \approx 166 \text{ кПа}\]

Ответ: 166 кПа

Чтобы перевести аргон в газ, имеющий температуру 0 \(^\circ\)С, сначала необходимо перевести его из жидкого состояния в газообразное, а затем нагреть до нужной температуры.
Общее количество теплоты \(Q\), которое необходимо для этого, будет складываться из двух составяющих: \[\; \; \; \; Q = Q_1 + Q_2 \; \; \; \; (1)\] Количество теплоты, которое потребуется для парообразования аргона: \[\; \; \; \; Q_1=rm, \; \; \; \; (2)\] где \(m\) — масса аргона, \(r\) — удельная теплота испарения.
Когда аргон превратится в газ, мы будем его рассматривать как идеальный одноатомный газ. Значит, для нагрева аргона до 0 \(^{\circ}\) С запишем перове начало термодинамики: \[Q_2=\Delta U+A,\] где \(Q_2\) — количество теплоты, необходимое для нагревания, \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии аргона, \(A\) — работа аргона.
\[Q_2=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T+p(V_2-V_1), \hspace{7 mm} (3)\] где \(\nu\) — количество вещества, \(\Delta T\) — изменение температуры, \(p\) — давление, \(V_2\) и \(V_1\) — конечное и начальное давлени газа, а в дальнейшнем \(\mu\) — молярная масса газа, \(\rho\) — плотность аргона.
По уравнению Клапейрона — Менделеева: \[p(V_2-V_1)=\nu R \Delta T \hspace{7 mm} (4)\] Подставим (4) в (3): \[Q_2=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T+\nu R\Delta T\] \[\; \; \; \; Q_2 = \dfrac{5}{2}\nu R\Delta T \; \; \; \; (5)\] Подставим (2), (5) в (1): \[Q=rm+\dfrac{5}{2}\nu R\Delta T\] Количество вещества аргона можно найти по формуле: \(\nu = \dfrac{m}{\mu}\), где \(\mu\) — молярная масса аргона.
Массу аргона можно найти, зная его плотность и объем: \(m = \rho V\).
С учетом этого: \[Q=r\rho V+\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{\rho V}{\mu}R\Delta T\] \[Q=87\cdot10^3\text{ кДж/кг}\cdot2\cdot10^{-3}\text{ м$^3$}\cdot1400\text{ кг/м$^3$} +\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{1400\text{ кг/м$^3$}\cdot2\cdot10^{-3}\text{ м$^3$}}{40\cdot10^{-3}\text{кг/моль}}\cdot8,31\cdot186^\circ\text{C} \approx 591 \text{ кДж}\]

Ответ: 591 кДж

По условию задачи КПД двигателя автомобиля равен 30%. Это означает, что только 30% от выделевшегося количества теплоты пойдет на совершение работы по перемещению автомомбиля: \[\; \; \; \; A = 0,3Q \; \; \; \; (1)\] Количество теплоты, которое выделится при сгорании бензина, равно: \[\; \; \; \;Q = qm \; \; \; \; (2)\] где \(m\) — масса сгоревшего бензина.
Массу бензина можно найти, зная его плотность: \[\; \; \; \; \rho = \dfrac{m}{V} \; \; \; \Rightarrow \; \; \; m = \rho V \; \; \; \; (3)\] где \(V\) — объем сгоревшего бензина.
Зная расход бензина и пройденное расстояние, найдем объем израсходованного бензина: \[\; \; \; \;V = \mu l \; \; \; \;(4)\] Подставим последовательно (4), (3), (2) в (1): \[\; \; \; \;A = 0,3q\rho\mu l \; \; \; \; (5)\] В то же время работа при перемещении автомобиля на расстояние \(l\) по определению равна: \[A = Fl\cos\alpha_o\] где \(F\) — модуль равнодействующей всех сил, действующих на автомобиль, \(\alpha_o\) — угол между направлением силы и направлением перемещения.
В рассматриваемых случаях и для горизонтального движения и для движения под углом к гори3 зонту \(\cos\alpha = 1\): \[\; \; \; \; A = Fl \; \; \; \;(6)\]
Рассмотрим движение автомобиля по горизонтальному участку шоссе.
В этом случае работа, совершенная двигателем, по величине равна работе сил сопротивления.
Исходя из формул (5) и (6), получаем, что: \[0,3q\rho\mu_1 l = Fl\] Выразим отсюда силу \(F\): \[\; \; \; \; F = 0,3q\rho\mu_1 \; \; \; \; (7)\] Рассмотрим движение автомобиля по наклонному участку шоссе той же длины.
В этом случае работа двигателя равна сумме величины работы сил сопротивления и изменения (приращения) потенциальной энергии автомобиля в поле силы тяжести: \[A = Fl + Mgl\sin\alpha\] С учетом формулы (5) имеем, что: \[0,3q\rho\mu_2 l = Fl + Mgl\sin\alpha\] Выразим отсюда силу \(F\): \[\; \; \; \; F = 0,3q\rho\mu_2 - Mg\sin\alpha \; \; \; \; (8)\] Приравняем (7) и (8) с учетом того, что по условию \(\sin\alpha \approx \alpha\), и выразим искомый расход бензина: \[0,3q\rho\mu_1 = 0,3q\rho\mu_2 - Mg\sin\alpha\] \[\mu_2 = \mu_1 + \dfrac{Mg\alpha}{0,3\rho q}\] \[\mu_2 = 7(\text{ л/$100$ км}) + \dfrac{1000\text{ кг}\cdot10\text{ м/с}^2\cdot0,01}{0,3\cdot0,7\text{ кг/л}\cdot 42\cdot10^6\text{ Дж/кг}}\cdot10^5 \approx 8,13\text{ л/100 км}\]

Ответ: 8,13 л/100 км

Cила тяжести, действующая на систему, уравновешивается силой Архимеда.
Рассмотрим предельный случай, когда мальчик на воздушных шарах вот-вот оторвется от поверхности земли, и запишем второй закон Ньютона для данной системы: \[\vec{F}_\text{Арх} + M\vec{g} + nm\vec{g} = 0\] где \(M\) — масса мальчика, \(m\) — масса гелия в одном шарике, \(n\) — количество шаров, \(g\) — ускорение свободного падения.
Спроецируем второй закон Ньютона на вертикальную ось, направленную вверх: \[F_\text{Арх} - Mg - nmg = 0\] \[\; \; \; \; F_\text{Арх} = Mg + nmg \; \; \; \; (1)\] Сила Архимеда равна: \[F_\text{Арх} = \rho_o gnV\] где \(\rho_o\) — плотность воздуха, \(V\) — объем одного шарика.
Подставим (2) в (1): \[\rho_o gnV = Mg + nmg\] \[\; \; \; \; \rho_o nV = M + nm \; \; \; \; (3)\] Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для воздуха: \[\; \; \; \; p_oV_o = \dfrac{m_o}{\mu_o} RT_o \; \; \; \; (4)\] где \(p_o\) — атмосферное давление, \(V_o\) — объем, занимаемый воздухом, \(m_o\) — \(\mu_o\) — масса воздуха, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T_o\) — абсолютная температура воздуха.
Плотность воздуха равна: \[\; \; \; \; \rho_o = \dfrac{m_o}{V_o} \; \; \; \; (5)\] Подставим (5) в (4) и выразим плотность воздуха: \[\; \; \; \; p_o = \dfrac{\rho_o}{\mu_o}RT_o \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \rho_o = \dfrac{p_o\mu_o}{RT_o} \; \; \; \; (6)\] Найдем массу гелия в одном шарике из уравнения Менделеева-Клапейрона: \[\; \; \; \; p_o V = \dfrac{m}{\mu}RT_o \; \; \; \Rightarrow \; \; \; m = \dfrac{p_o V\mu}{RT_o} \; \; \; \; (7)\] где \(m\) — масса гелия, \(\mu\) — молярная масса гелия.
Подставим (6), (7) в (3) и выразим количество шариков: \[M + n\dfrac{p_o V\mu}{RT_o} = \dfrac{p_o \mu_o}{RT_o}nV\] \[n = \dfrac{MRT_o}{p_o V(\mu_o - \mu)}\] \[n = \dfrac{40\text{ кг}\cdot8,31\text{Дж/(моль$\cdot$К)}\cdot300\text{ К}}{10^5\text{ Па}\cdot10^{-2}\text{ м}^3\cdot(29-4)\cdot10^{-3} \text{кг/моль}}=3989\]

Ответ: 3989

Покажем на рисунке все силы, действущие на воздушный шар и введем вертикальную ось \(y\):

Рассмотрим предельный случай, когда шар вот-вот оторвется от поверхности земли, и запишем для него второй закон Ньютона: \[\vec{F}_\text{Арх} + m\vec{g} +M\vec{g} = 0\] где \(F_\text{Арх}\) — выталкивающая сила, \(m\) — масса горячего воздуха, \(g\) — ускорение свободного падения.
Спроецируем второй закон Ньютона на ось \(y\), направленную вертикально вверх: \[\; \; \; \; F_\text{Арх} - mg-Mg = 0 \; \; \; \; (1)\] Выталкивающая сила равна: \[\; \; \; \; F_\text{Арх} = \rho_o gV \; \; \; \; (2)\] где \(\rho_o\) — плотность холодного воздуха, \(V\) — объем шара.
Подставим (2) в (1) и разделим на \(g\): \[\; \; \; \; \rho_o V - m - M = 0 \; \; \; \; (3)\] Заметим, что \(\rho_o V = m_o\), где \(m_o\) — масса холодного воздуха.
Тогда уравнение (3) будет иметь вид: \[\; \; \; \; m_o - m - M = 0 \; \; \; \; (4)\] Чтобы найти массы горячей и холодного воздуха, запишем для них уравнение Менделеева – Клапейрона: \[\; \; \; \; p_oV = \dfrac{m}{Mr}RT \; \; \; \Rightarrow \; \; \; m = \dfrac{p_o VMr}{RT} \; \; \; \; (5)\] \[\; \; \; \; p_oV = \dfrac{m_o}{Mr}RT_o \; \; \; \Rightarrow \; \; \; m_o = \dfrac{p_o VMr}{RT_o} \; \; \; \; (6)\] где \(p_o\) — атмосферное давление, \(Mr\) — молярная масса воздуха, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) \(T_o\) — абсолютные температуры горячего и холодного воздуха соответственно.
Подставим (5), (6) в (4) и выразим максимальную температуру окружающего воздуха, при которой шар начнет подниматься: \[\dfrac{p_o VMr}{RT_o} - \dfrac{p_o VMr}{RT} - M = 0 \; \; \; / :\dfrac{p_o VMr}{RT}\] \[\dfrac{1}{T_o} - \dfrac{1}{T} - \dfrac{MR}{p_oVMr} = 0\] \[T_o=\dfrac{\mu p_oVT}{\mu p_oV+MRT}\] \[T_o = \dfrac{0,029\text{ кг/моль}\cdot10^5\text{ Па}\cdot230\text{ м}^3\cdot(265+273)\text{ К}}{0,029\text{ кг/моль}\cdot10^5\text{ Па}\cdot230\text{ м}^3+145\text{ кг}\cdot8,31\text{ Дж/(моль$\cdot$К)}\cdot(265+273)\text{ К}}\approx273 \text{ К}=0^{\circ}\text{С}\]

Ответ: 0 ∘С (273 К)

Запишем 2 закон Ньютона для предельного случая, когда пробка вот-вот вылетит из сосуда: \[\; \; \; \; F = F_\text{тяж}+F_\text{тр}+F_\text{атм}, \; \; \; \; \; (1)\] где \(F\) — сила, с которой газ воздействует на пробку, \(F_\text{тяж}\) — сила тяжести, действующая на пробку , \(F_\text{тр}\) — сила трения пробки о стенки сосуда, \(F_\text{атм}\) — сила давления атмосферы на пробку.
Сила, с которой газ воздействует на пробку, равна: \[\; \; \; \; p=\dfrac{F}{S} \; \; \; \Rightarrow \; \; \; F=pS \; \; \; \; (2)\] По уравнению Клайперона – Менделеева: \[\; \; \; \; pV=\nu R T \; \; \; \Rightarrow \; \; \; p=\dfrac{\nu R T}{V},\; \; \; \; (3)\] где \(T\) — абсолютная температура газа, \(\Delta T\) — изменение температуры газа.
Подставим (3) в (2): \[\; \; \; \; F = \dfrac{\nu R T}{V}S \; \; \; \; (4)\] Сила давления атмосферы на пробку равна: \[\; \; \; \; F_\text{атм}=p_oS \; \; \; \; (5)\] Силу тяжести и силу трения найдем по формулам: \[\; \; \; \; F_\text{тяж}=mg \; \; \; (6) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; F_\text{тр}=\mu mg, \; \; \; (7)\] где \(g\) — ускорение свободного падения.
Подставим (4), (5), (6), (7) в (1) и получим: \[\; \; \; \; S \dfrac{\nu R T}{V} = mg +\mu m g +p_o S \; \; \; \; (8)\] Конечная температура газа равна: \[\; \; \; \; T=T_o + \Delta T \; \; \; \; (9)\] Подставим (9) в (8) и выразим \(\Delta T\), на которую нужно увеличить температуру газа, чтобы пробка вылетела: \[S \dfrac{\nu R (T_o + \Delta T)}{V} = mg +\mu m g +p_o S\] \[\Delta T =\dfrac{V}{\nu R}\left(\dfrac{mg}{S}+\dfrac{\mu m g }{S}+p_o\right)-T_o\]

Ответ: $\Delta T =\dfrac{V}{\nu R}\left(\dfrac{mg}{S}+\dfrac{\mu m g }{S}+p_o\right)-T_o$