2. Динамика
Закон всемирного тяготения
Две материальные точки массами \(\displaystyle m\) и \(\displaystyle M\) притягиваются друг к
другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния \(\displaystyle R\) между ними. \[F=G\frac{mM}{R^2}\] Гравитационная постоянная — коэффициент пропорциональности
\[G=6,67\cdot10^{-11} \ \frac{ \text{Н}\cdot \text{м$^2$}}{\text{кг$^2$}}\]
Сила гравитационного притяжения между двумя шарами равна \(F\). Во сколько увеличится сила притяжения между шарами, если каждый из них заменить на шар в 4 раза тяжелее, оставив расстояние между шарами неизменным.
По закону всемирного тяготения: \[F=G\frac{M_{1}M_{2}}{R^{2}}\] где \(M_1\) и \(M_2\) – масса шаров, \(R\) – радиус между шарами. Так как масса каждого из шаров увеличится в 4, то сила увеличится в 16 раз.
Ответ: 16
Две звезды вращаются вокруг друг друга, сила притяжения между ними равна F. На сколько должно увеличиться расстояние между ними, чтобы сила притяжения осталась неизменной, если масса первой звезды увеличилась в 4 раза?
Сила притяжения между двумя телами равна: \[F=G\cdot\frac{M_1M_2}{R^2}\] где G – гравитационная постоянная, \(M_1\), \(M_2\) – массы тел, R - расстояние между этими телами.
Запишем уравнения до и после того, как изменили массу: \[F=
\begin{cases}
\dfrac{M_1M_2}{R_1^2}\\
\\
\dfrac{4M_1M_2}{R_2^2}
\end{cases}
\Rightarrow \dfrac{M_1M_2}{R_1^2} = \dfrac{4M_1M_2}{R_2^2}\] \[\frac{1}{R_1^2}=\frac{4}{R_2^2} \Rightarrow R_2 =\sqrt{R_1^2\cdot4} = 2R_1\]
Ответ: 2
Сила гравитационного притяжения между двумя шарами равна 200 нН, а расстояние между ними равно 100 м. Какова будет сила притяжения (в нН) между этими шарами, если расстояние между их центрами увеличить в 2 раза
По закону всемирного тяготения: \[F=G\frac{M_{1}M_{2}}{R^{2}}\] Составим уравнения для каждого случая, описанного в задаче: \[\begin{cases}
F_{1}=G\dfrac{M_{1}M_{2}}{R_{1}^2}
\\
\\
F_{2}=G\dfrac{M_{1}M_{2}}{4R_{1}^2}
\end{cases}\] Значит сила уменьшится в 4 раза и станет равной 50 нН.
Ответ: 50
Сила гравитационного притяжения между двумя шарами равна \(F\). Во сколько увеличится сила притяжения между шарами, если один из них заменить на шар в три раза тяжелее, оставив расстояние между шарами неизменным.
По закону всемирного тяготения: \[F=G\frac{M_{1}M_{2}}{R^{2}}\] где \(M_1\) и \(M_2\) – масса шаров, \(R\) – радиус между шарами. Так как масса одного из шаров увеличится в три, то и сила увеличится в три раза.
Ответ: 3
Сила гравитационного притяжения между двумя шарами равна \(F=100\) Н. Какова будет сила притяжения между шарами, если массу каждого из шаров увеличить 2 раза, а расстояние между шарами также увеличить в 2 раза.
По закону всемирного тяготения: \[F=G\frac{M_{1}M_{2}}{R^{2}}\] где \(M_1\) и \(M_2\) – масса шаров, \(R\) – радиус между шарами.
Во втором случае сила притяжения равна \[F_2=G\frac{2M_{1}2M_{2}}{4R^{2}}=F=100\text{ Н}\]
Ответ: 100
Два одинаковых маленьких шарика массой \(m\) каждый, расстояние между центрами которых равно \(r\), притягиваются друг к другу с силами, равными по модулю 0,2 пН. Каков модуль сил гравитационного притяжения двух других шариков, если масса каждого из них равна \(2m\), а расстояние между их центрами равно \(2r\)? Ответ дайте в пН.
“Демоверсия 2020”
Сила взаимодействия шариков: \[F=G\dfrac{m\cdot m}{r^2}\] Во втором случае: \[F=G\dfrac{4m}{4r^2}=G\dfrac{m^2}{r^2}\] То есть сила не изменилась
Ответ: 0,2
На Земле на человека действует сила притяжения \(F=800\) Н. Какая сила будет действовать на этого же человека на Луне, если отношение ускорения свободного падения Луны и Земли равно \(\dfrac{g_{\text{л}}}{g_{\text{з}}} = 0,16\)? (Ответ дайте в Ньютонах)
Сила приятяжения человека к планете равна: \[F = mg\] где m – масса человека.
Запишем это уравнение для Земли и Луны соответственно: \[F_{\text{з}} = mg_{\text{з}}\] \[F_{\text{л}} = mg_{\text{л}}\] Поделив первое уравнение на втрое, получим: \[\frac{F_{\text{з}}}{F_{\text{л}}} = \frac{g_{\text{з}}}{g_{\text{л}}} \Rightarrow F_{\text{л}} = F_{\text{з}}\cdot \frac{g_{\text{л}}}{g_{\text{з}}}\] \[F_{\text{л}} = 800\text{ H}\cdot 0,16 = 128\text{ H }\]
Ответ: 128
