Резисторы, сопротивлениями 4 и 9 Ом, поочередно подключенные к источнику тока, потребляют одинаковую мощность. Во сколько раз КПД источника во втором случае больше, чем в первом?
По закону Ома для полной цепи, сила тока в цепи \[I=\dfrac{\xi}{R+r},\] где \(\xi\) и \(r\) – ЭДС и внутреннее сопротивление источника, \(R\) – внешнее сопротивление.
А мощность вычисляется по формуле: \[P=I^2R=\left(\dfrac{\xi}{r+R}\right)^2R\] Преобразуем данное уравнение: \[\dfrac{\xi^2R}{r^2+2rR+R^2}=P\] Поделим на \( \dfrac{P}{r^2+2rR+R^2}\) \[R^2 \left(2r-\dfrac{\xi^2}{P}\right)R+r=\] Где корни \(R_1\) и \(R_2\) удовлетворяют условию \(r^2=R_1R_2\) Откуда внутреннее сопротивление источника \[r=\sqrt{R_1R_2}=\sqrt{4\text{ Ом}\cdot 9\text{ Ом}}=6\text{ Ом}\] КПД источника же равно отношению мощности, переданной в цепь, к мощности, выделившейся на источнике, то есть \[\eta=\dfrac{I^2R}{I^2(r+R)}=\dfrac{R}{r+R}\] Найдем КПД для первого и второго резисторов \[\eta_1=\dfrac{4\text{ Ом}}{6\text{ Ом}+4\text{ Ом}}=\dfrac{4}{10}\] \[\eta_2=\dfrac{9\text{ Ом}}{6\text{ Ом}+9\text{ Ом}}=\dfrac{9}{15}\] Откуда отношение КПД \[\dfrac{\eta_2}{\eta_1}=\dfrac{90}{60}=1,5\]
Ответ: 1,5