Электростатика. Конденсаторы

Запишем второй закон Ньютона на ось, сопадающую с направлением стержня \[mg \sin \alpha = k\dfrac{q^2}{l^2} \Rightarrow q=l\sqrt{\dfrac{mg\sin \alpha}{k}}\]

Ответ: $q=l\sqrt{\dfrac{mg\sin \alpha}{k}}$

Сразу после замыкания ключа ток через резистор не течет, поэтому ток через источник paset \[I_{1}=\frac{\xi}{r}\] После того, как ток установится, сила тока будет равна \[I_{2}=\frac{\xi}{R+r}\]

так как по условию ток первоначально в \( n \) раз больше, то

\[\frac{\frac{\xi}{r}}{\frac{\xi}{R+r}}=n \Rightarrow \frac{R+r}{r}=n \Rightarrow \frac{R}{r}=n-1\] Taк как конденсатор и резистор подключены параллельно, то напряжение на резисторе равно установившемуся напряжению на конденсаторе и равно \[U=I_{2} R=\frac{\xi R}{R+r}=\frac{\xi(n-1)}{n}\] Откуда ЭДС источника равно \[\xi=\frac{U n}{n-1}=2 U=3,5 \text{ В}\]

Ответ: 3,5

Пусть потенциал между блоком из конденсаторов 1–3 и блоком конденсаторов 2–4 равен \(\phi\), тогда напряжение на блоке 1–3 равно \(U_{13}=\xi-\phi\), а напряжение на блоке 2–4 равно\(U_{24}=\phi-0=\phi\). Найдем емкости блоков конденсаторов \[C_{13}=3C+4C=7C \hspace{10 mm} C_{24}=2C+C=3C\] Так как блок 1–3 и блок 2–4 подключены последовательно, то на них одинаковый заряд \[q_{13}=q_{24} \Rightarrow 7C(\xi-\phi)=3C \phi \Rightarrow \phi=\dfrac{7\xi}{10}\] Так как конденсаторы 2 и 4 подключены параллельно, то напряжение на втором конденсаторе равно напряжению 2–4, а значит энергия второго конденсатора равна \[Q_2=\dfrac{C 49\xi^2}{100\cdot 2}=\dfrac{49C\xi^2}{200}=\dfrac{49 \cdot 200\cdot 10^{-6}\text{ Ф}\cdot 100\text{ В$^2$}}{200}=4,9\text{ мФ}\]

Ответ: 4,9

При установившемся токе в цепи ток через конденсатор не будет идти, а значит резистор \(R_3\) не будет включен в цепь.

По закону Ома для полной цепи, ток в цепи равен \[I=\frac{\xi}{r+R_{1}+R_{2}}\] Так как резистор \(R_{2} \) и конденсатор подключены параллельно, то напряжение на конденсаторе напряжению на резисторе \[U_{C}=U_{R_{2}}=I R_{2}=\frac{\xi R_{2}}{r+R_{1}+R_{2}}\] Заряд на конденсаторе и напряжение связаны фopмулой: \[q=C U_{C}\] Найдем заряд на левой обкладке, ом будет равен заряду конденсатора, при этом он будет положительным. \[q=2 \cdot 10^{-6} \Phi \frac{3,6 \text{ В} \cdot 7 \text{ Ом}}{1 \text{ Ом}+4 \text{ Ом}+7 \text{ Ом}}=4,2 \text{ мкКл}\]

Ответ: 4,2

1) Поскольку вначале ключ разомкнут, то вольтметр показывает ЭДС источника тока \(\xi=9\) В.
2) Найдём ток в цепи. Поскольку сопротивления 4 и 2 включены между собой параллельно, то напряжения на них равны друг другу. По закону Ома для участка цепи мы можем расписать каждое из напряжений и можем найти токи через резистор 2. При \[U_2=U_4 \Leftrightarrow I_2R_2=I_4R_4 \Leftrightarrow1\text{ А}\cdot 4\text{ Ом}=I_2\cdot 2\text{ Ом}\Leftrightarrow I_2=2\text{ А}\] 3) Общий ток в цепи — это сумма токов на резисторах 4 и 2: \[I=I_4+I_2=2\text{ А}+1\text{ А}=3\text{ А}\] 4) Найдём общее сопротивление цепи. Оно будет равно сумме сопротивлений на участках 1–3–5 и 2–4. А на каждом из этих участков мы найдём сопротивления по закону параллельного сопротивления проводников. \[\dfrac{1}{R_{1-3-5}}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_3}+\dfrac{1}{R_5}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{23}{15}\Leftrightarrow R_{1-3-5}=\dfrac{15}{23}\text{ Ом}\] Найдем общее сопротивление: \[R_0=R_{1-3-5}+R_{2-4}=\dfrac{15}{23}\text{ Ом}+\dfrac{4}{3}\text{ Ом}=\dfrac{137}{69}\text{ Ом}\] 5) Внутреннее сопротивление можно найти через закон Ома для полной цепи: \[I=\dfrac{\xi}{R+r} \Rightarrow r =\dfrac{\xi}{I}-R=\dfrac{9\text{ В}}{3\text{ А}}-\dfrac{137}{69}\text{ Ом}\approx 1,01 \text{ Ом}\]

Ответ: 1,01

Ёмкость конденсатора: \[C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0S}{d},\] где \(S\) - -площадь пластин, \(d\) – расстояние между пластинами
Площадь пластин и расстояние между ними не изменяют, а диэлектрическая проницаемость воздуха 1, следовательно, ёмкость конденсатора увеличится в 2 раза при внесениии диэлектрика и станет равной \(C=20\) мкФ.
Конденсатор не отключают от напряжения, следовательно, изменение энергии конденсатора будет равно \[\Delta W =W_2-W_1=\dfrac{2CU^2}{2}-\dfrac{CU^2}{2}=\dfrac{CU^2}{2}=\dfrac{10\text{ мкФ}\cdot 100\text{ В}}{2}=500\text{ мкДж}\]

Ответ: 37

Заряд на конденсаторе находится по формуле: \[q=CU,\] где \(C\) – ёмкость конденсатора, \(U\) – напряжение на конденсаторе.
Запишем закон сохранения заряда для цепи \[C_1U=(C_1+C_2)U_1, \quad (1)\] где \(C_1\) и \(C_2\) – ёмкость первого и второго конденсаторов, \(U\) – напряжение на конденсаторе до подключения второго конденсатора, \(U_1\) – напряжение на конденсаторах после подключения второго конденсатора.
Закон сохранения в этом случае выглядит следующим образом \[W_1=Q+W_2, \quad (2)\] где \(W_2\) и \(W_1\) – конечная и начальная энергия в цепи.
Энергия на конденсаторе же равна \[W=\dfrac{CU^2}{2} \quad (3)\] Объединим (1), (2) и (3) \[Q=\dfrac{C_1U^2}{2}-\dfrac{(C_1+C_2)U_1^2}{2}=U^2\left(\dfrac{(C_1+C_2)C_1}{2(C_1+C_2)}-\dfrac{C_1^2}{2(C_1+C_2)}\right)=U^2\left(\dfrac{C_1C_2}{2(C_1+C_2)}\right)\] Подставим числа из условия \[Q=9\cdot 10^4\text{ В$^2$} \left(\dfrac{100\text{ мкФ}\cdot 200\text{ мкФ}}{2(100\text{ мкФ}+200\text{ мкФ})}\right)=3\text{ Дж}\]

Ответ: 3