Энергетический подход в электрических цепях

Так как катушка длительное время подключена к источнику, то она будет полностью заряжена, \[W=\dfrac{LI_{max}^2}{2},\quad (1)\] где \(I_{max}\) – максимальная сила тока в цепи.
а сила тока на ней будет равна по закону Ома \[I_{max}=\dfrac{\xi}{r}, \quad (2)\] После размыкания ключа, катушка будет разряжаться, а конденсатор заряжаться, в момент, когда напряжение на конденсаторе будет равно ЭДС, катушка еще будет заряжена, значит по закону сохранения энергии \[\dfrac{LI_{max}^2}{2}=\dfrac{LI^2}{2}+\dfrac{CU^2}{2} \quad (3)\] Объединим (1), (2) и (3) и напряжение \[U=\sqrt{L\left(\dfrac{\dfrac{\xi^2}{r^2}-I^2}{C}\right)}=\sqrt{1\cdot 10^{-3}\text{ Гн}\left(\dfrac{9\text{ В$^2$}}{4\text{ Ом$^2$}-1\text{ А$^2$}}{50\cdot 10^{-6}\text{ Ф}}\right)}=5\text{ В}\]

Ответ: 5

Пусть потенциал между блоком из конденсаторов 1–3 и блоком конденсаторов 2–4 равен \(\phi\), тогда напряжение на блоке 1–3 равно \(U_{13}=\xi-\phi\), а напряжение на блоке 2–4 равно \(U_{24}=\phi-0=\phi\). Найдем емкости блоков конденсаторов \[C_{13}=2C+4C=6C \hspace{10 mm} C_{24}=C+2C=3C\] Так как блок 1–3 и блок 2–4 подключены последовательно, то на них одинаковый заряд \[q_{13}=q_{24} \Rightarrow 6C(\xi-\phi)=3C \phi \Rightarrow 9\phi=6 \Rightarrow \phi =\dfrac{2\xi}{3}\] Откуда напряжение на конденсаторах 1 – 3, \(\xi-\dfrac{2\xi}{3}=\dfrac{\xi}{3}\).
Так как конденсаторы 1 и 3 подключены параллельно, то напряжение на первом конденсаторе равно напряжению 1–3, а значит энергия первого конденсатора равна \[W_1=\dfrac{2C\xi^2}{9\cdot 2}=\dfrac{C\xi^2}{9}=\dfrac{2\cdot 900\cdot 10^{-6}\text{ Ф}\cdot 10^4\text{ В}}{9\cdot 2}=1\text{ Дж}\]

Ответ: 1

В начале, на конденсаторе находился заряд равный \[q=C_1U_1,(1)\] где \(U_1\) – начальное напряжение. После замыкания ключа, первый конденсатор начинает разряжаться, а второй заряжаться, и они будут иметь заряды \(q_1\) и \(q_2\) соответственно, при этом: \[q_1+q_2=q=C_1U_1(2)\] После перезарядки конденсаторов напряжение на резисторе становится равным нулю, а напряжения на конденсаторах становится одинаковым, то есть \[\dfrac{q_1}{C_1}=\dfrac{q_2}{C_2}(3)\] Энергия на конденсаторе может находиться по формулам: \[Q=\dfrac{CU^2}{2} \quad (4)\] \[Q=\dfrac{q^2}{2C}\quad (5)\] Тогда с учетом (4) и (5) закон сохранения энергии для электрической цепи выглядит следующим образом: \[\dfrac{C_1U_1^2}{2}=Q+\dfrac{q_1^2}{2C_1}+\dfrac{q_2^2}{2C_2}\] Выразив из этого уравнения начальное напряжение с учетом (1), (2) и (3), получим \[U_1=\sqrt{\dfrac{2Q(C_1+C_2)}{C_1C_2}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 50\cdot 10^{-6}\text{ Дж}(10 \cdot 10^{-6}\text{ Ф}+20\text{ Ф}\cdot 10^{-6})}{10\cdot 10^{-6}\text{ Ф}\cdot 20\cdot 10^{-6}\text{ Ф}}}=3,9\text{ В}\]

Ответ: 3,9

Заряд для конденсатора находится по формуле: \[q=CU,\] где \(C\) – ёмкость конденсатора, \(U\) – напряжение на конденсаторе. По закону сохранения энергии: \[W_1 +A_{\text{ ист}}+A=W_2+Q,\] где \(W_1\) и \(W_2\) – энергии конденсатора в начала и в конце процесса соответственно, \(А_{\text{ист}}\) – работа источника тока, \(Q\) – количество теплоты, выделившиеся в результате процесса. Напишем для каждого слагаемого формулы для их нахождения. \(W_1=\dfrac{1}{2}C_1 \xi^2\), \(W_2=\dfrac{1}{2}C_2\xi^2\), \(А_{\text{ист}}=\Delta q \xi=q_2\xi-q_1\xi=C_2 \xi^2-C_1\xi^2=\Delta C \xi^2,\) где \(\Delta C\) – изменение ёмкости. Подставим в первоначальное уравнение, перенеся \(W_1\) вправо, и получим \[\Delta C \xi^2+A=\dfrac{1}{2}C_2\xi^2-\dfrac{1}{2}C_1\xi^2+Q\] Выразим из этого уравнения работу против сил притяжения пластин \[A=Q+\dfrac{1}{2}\Delta C\xi^2-\Delta C \xi^2 \Rightarrow A=Q-\dfrac{1}{2}\Delta C\xi^2\] Так как \(\Delta C\xi=\Delta q\), то \[\dfrac{1}{2}\Delta C\xi^2=\dfrac{\Delta q \xi}{2}\] Подставим данное выражение в уравнение для нахождения работы против сил притяжения пластин \[A=Q-\dfrac{\Delta q \xi}{2}=20\text{ мкДж}+\dfrac{2\text{ мкКл}\cdot 100\text{ В}}{2}=120\text{ мкДж}\]

Ответ: 120

Заряд для конденсатора находится по формуле: \[q=CU,\] где \(C\) – ёмкость конденсатора, \(U\) – напряжение на конденсаторе. По закону сохранения энергии: \[W_1 +A_{\text{ ист}}+A=W_2+Q,\] где \(W_1\) и \(W_2\) – энергии конденсатора в начала и в конце процесса соответственно, \(А_{\text{ист}}\) – работа источника тока, \(Q\) – количество теплоты, выделившиеся в результате процесса. Напишем для каждого слагаемого формулы для их нахождения. \(W_1=\dfrac{1}{2}C_1 \xi^2\), \(W_2=\dfrac{1}{2}C_2\xi^2\), \(А_{\text{ист}}=\Delta q \xi=q_2\xi-q_1\xi=C_2 \xi^2-C_1\xi^2=\Delta C \xi^2,\) где \(\Delta C\) – изменение ёмкости. Подставим в первоначальное уравнение, перенеся \(W_1\) вправо, и получим \[\Delta C \xi^2+A=\dfrac{1}{2}C_2\xi^2-\dfrac{1}{2}C_1+Q\] Выразим из этого уравнения количество теплоты \[Q=A-\dfrac{1}{2}\Delta C\xi^2+\Delta C \xi^2 \Rightarrow A=Q-\dfrac{1}{2}\Delta C\xi^2\] Так как \(\Delta C\xi=\Delta q\), то \[\dfrac{1}{2}\Delta C\xi^2=\dfrac{\Delta q \xi}{2}\] Подставим данное выражение в уравнение для нахождения количества теплоты \[Q=A+\dfrac{\Delta q \xi}{2}=140\text{ мкДж}-\dfrac{2\text{ мкКл}\cdot 100\text{ В}}{2}=40\text{ мкДж}\]

Ответ: 40

Когда установится равновесие, ток через резисторы прекратится. Конденсатор \(C_1\) будет заряжен до напряжения равного ЭДС(\(\xi\)), а конденсатор \(C_2\) будет разряжен. При этом через батарею пройдет заряд \(q=C_1 \xi\). Для нахождения энергии первого конденсатора будем использовать формулу: \[W=\dfrac{CU^2}{2}=\dfrac{C_1\xi^2}{2}\] Работа внешних сил будет равна: \[A=q\xi=C_1\xi^2\] По закону сохранения энергии \[A=Q+W\] Выразим отсюда количество теплоты(\(Q\)) и подставим числа из условия \[Q=A-W=C_1\xi^2-\dfrac{C_1\xi^2}{2}=\dfrac{C_1\xi^2}{2}=\dfrac{50\cdot10^{-6}\text{ Ф}\cdot100^2\text{ В$^2$}}{2}=0,25\text{ Дж}\]

Ответ: 0,25

Так как конденсатор и резистор \(R_2\) подключены параллельно, то напряжение на конденсаторе равно напряжению на \(R_2\). Напряжение на втором резисторе находится по формуле: \[U_2=I_2R_2,\] где \(T_2\) – сила тока на втором резисторе. Так как через конденсатор ток не идет, то и через резистор \(R_1\) ток тоже не идет, а значит по закону Ома для полной цепи: \[I_2=\dfrac{\xi}{R_2+r}\] Напряжение связано с напряженность формулой: \[U=Ed,\] где \(d\) – расстояние между пластинами конденсатора, выразим его. \[d=\dfrac{U}{E}=\dfrac{I_2R_2}{E}=\dfrac{\dfrac{\xi R_2}{R_2+r}}{E}=\dfrac{\dfrac{30\text{ В}\cdot 40\text{ Ом}}{40\text{ Ом} + 10\text{ Ом}}}{24\cdot 10^3\text{ В/м}}=10^{-3}\text{ м}=1\text{ мм}\]

Ответ: 1