Механические колебания и волны

1) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Потенциальная энергия пружины вычисляется по формуле \(E_\text{п} = \dfrac{kx^2}{2}\), где \(x\) — величина деформации. В момент времени \(t = 1,2\) c деформация пружины максимальна, следовательно, потенциальная энергия пружины максимальна.
2) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Период колебаний — это наименьший промежуток времени, за который система возвращается в первоначальное состояние. По таблице видно, что полупериод колебаний равен 2,4 с, тогда период колебаний \(T = 4,8\) c.
3) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)

Полная механическая энергия в данной ситуации вычисляется по формуле \(E_\text{мех} = E_\text{п} + E_\text{к}\) и по закону сохранения механической энергии остается неизменной величиной. В момент времени \(t = 2,4\) деформация пружины равна нулю, следовательно, потенциальная энергия равна нулю, тогда кинетическая энергия максимальна.
4) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Амплитуда — это максимальное значение смещения. В предоставленной таблице \(x_{max} = 10\) мм.
5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
По закону сохранения механической энергии полная механическая энергия остается неизменной в изолированной системе, где действуют только консервативные силы. У нас именно этот случай.

Ответ: 12

1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Частота колебаний груза вычисляется по формуле \(\nu = \dfrac{1}{T}\), где \(T\) — период колебаний груза. По данным таблицы видно, что период колебаний груза равен \(T = 2,4\) c, следовательно, частота колебний груза \(\nu \approx 0,42\) Гц.
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
В момент времени 1,8 с высота подъема груза максимальна, следовательно, максимальна потенциальная энергия, которая вычисляется по формуле \(E_\text{п} = mgh\). Кинетическая энергия при этом минимальна, а это возможно только в том случае, если скорость будет минимальна, потому что формула кинетической энергии: \(E_\text{к} = \dfrac{mv^2}{2}\).
3) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
За промежуток времени от 0,3 с до 2,1 с высота подъема груза дважды была максимальной, следовательно, дважды была максимальной потенциальная энергия, а кинетическая энергия в изолированных системах, где действуют консервативные силы, всегда минимальна при максимальной потенциальной энергии.
4) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Полная механическая энергия груза вычисляется по формуле \(E_\text{мех} = E_\text{п} + E_\text{к}\), при этом сама остается неизменной в изолированных системах, где действуют консервативные силы, как в данном случае. В момент времени 1,2 с кинетическая энергия максимальна, следовательно, потенциальная энергия равна нулю. Когда потенциальная энергия максимальна, кинетическая энергия равна нулю. Тогда максимальная кинетическая энергия равна максимальной потенциальной. Максимальная потенциальная энергия вычисляется по формуле \(E_\text{п max} = mgh_{max}\). Подставив данные из таблицы, получим значение \(E_\text{п max} =0,02\text{ кг}\cdot0,24 \text{ м}\cdot10\text{ м/с}^2= 0, 048\) Дж.
5) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Период колебаний данного маятника \(T=2,4\) с. Период колебаний кинетической и потенциальной энергии в 2 раза меньше периода колебаний маятника, следовательно, \(T_{\text{кин}}=1,2\) с.

Ответ: 35

1) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\)
По графику видно, что \(A_1=3\) см и \(A_2=5\) см. Значит, искомое нам отношение: \[\dfrac{A_1}{A_2}=0,6\] 2) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Частота – величина, обратная периоду. Период колебаний можно найти по графику: \[T_1=10\text{ c} \Rightarrow \nu_1 = \frac{1}{T_1} =\frac{1}{10\text{ c}} = 0,1\text{ Гц}\] 3) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
\(\nu_1 =0,1\) Гц (из п.2). Частоту второго грузика найдём аналогично тому, как находили частоту первого: \[T_2 =4\text{ c} \Rightarrow \nu_2 =\frac{1}{T} = \frac{1}{4\text{ c}} = 0,25\text{ Гц}\] \[0,25 > 0,1 \Rightarrow \nu_2 > \nu_1\] 4) \(\color{red}{\small \text{Неверно }}\)
Период – минимальное время, за которое система совершает одно полное колебание. По рисунку видно, что период второго грузика \(T=4\) c
5) \(\color{green}{\small \text{Верно }}\)
Гармонические колебания груза можно описать законом: \[x=A\cos{\left(\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)}\] где А – это амплитуда колебаний, а T – период колебаний. Подставив величины из графика и условия, получим: \[x=3\cos{\left(\frac{2\pi}{10}\cdot5\right)} = 3\cos{\pi}\] Скорость — это производная координаты по времени: \[\upsilon =x_t' =-3sin{\pi} =0\]

Ответ: 15

1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Максимальная скорость груза определяется по формуле \(v_{x max} = A\omega\), где А – амплитуда колебаний. Амплитуда колебаний в данном случае определяется по формуле: \[A = l_{0} - l_A = 0,2 \text{ м} - 0,16 \text{ м} = 0, 04 \text{ м}\] Найдем циклическую частоту: \[\omega = \dfrac{v_{x max}}{A} = \dfrac{0,08 \text{ м/с}}{0,04 \text{ м}} = 2 \text{ рад/с}\] 2) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
В момент времени \(t = 0\) с скорость груза равна нулю, то есть, его кинетическая энергия равна 0, а это возможно лишь в положении максимального отклонения. Затем груз движется в положительном направлении оси \(Ox\), так как график зависимости скорости груза от времени возрастает. Из этого следует, что в момент времени \(t = 0\) груз находился в точке Б.
3) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Период колебаний пружины определяется по формуле: \(T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{2 \text{ рад/с}} = \pi\) с.
4) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Максимальное ускорение груза равно \(a_{x max} = A\omega ^{2} = 0,04 \text{ м} \cdot (2 \text{ рад/с})^{2} = 0, 16 \text{ м/с}\)
5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Период колебаний пружины определяется по формуле: \(T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{2 \text{ рад/с}} = \pi\) с.

Ответ: 23

Период колебаний в данном случае определяется формулой \[T = \dfrac{1}{\nu} = \dfrac{1}{0,25 \text{ Гц}} = 4 \text{ с}\] То есть шарик возвращается в первоначальное положение за 4 секунды. Рассмотрим подробнее движение шарика на следующем рисунке:
В момент прохождения шарика положения равновесия кинетическая энергия будет максимальна, а потенциальная энергия – минимальна (т.е. равна нулю). В точках максимального отклонения шарика будет максимальна потенциальна энергия, а кинетическая – минимальна (т.е. равна 0). Полная механическая энергия при этом будет неизменной по закону сохранения полной механической энергии.
1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
В момент времени \(t = 2\) с шарик находится в точке максимального отклонения, следовательно, кинетическая энергия минимальна.
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
В момент времени \(t = 3\) с шарик проходит положение равновесия, следовательно, кинетическая энергия второй раз достигнет максимума, а не минимума.
3) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Циклическая частота в данном случае определяется по формуле \[\omega = 2\pi \nu = 2\pi \cdot 0,25 \text{ Гц} = 0,5\pi \text{ рад/с}\] 4) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
В момент времени \(t = 3\) шарик проходит положение равновесия, следовательно, кинетическая энергия максимальна, а потенциальная минимальна. Так как система шарик-нить изолированная и в ней действуют консервативные силы, то потенциальная энергия меньше кинетической.
5) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
По закону сохранения полной механической энергии в изолированной системе, в которой действуют консервативные силы, полная механическая энергия остается неизменной.

Ответ: 45

1) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Максимальная скорость груза определяется по формуле \(v_{x max} = A\omega\), где А – амплитуда колебаний. Амплитуда колебаний в данном случае определяется по формуле \[A = l_{0} - l_A = 0,25 \text{ м} - 0,19 \text{ м} = 0, 06 \text{ м}\] Найдем циклическую частоту: \[\omega = \dfrac{v_{x max}}{A} = \dfrac{0,06 \text{ м/с}}{0,06 \text{ м}} = 1 \text{рад/с}\] 2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
В момент времени \(t = 0\) с скорость груза равна нулю, то есть, его кинетическая энергия равна 0, а это возможно лишь в положении максимального отклонения. Затем груз движется в положительном направлении оси \(Ox\), так как график зависимости скорости груза от времени возрастает. Из этого следует, что в момент времени \(t = 0\) груз находился в точке A.
3) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Период колебаний пружины определяется по формуле: \[T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{1 \text{ рад/с}} = 2\pi\text{ с}\] 4) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Ускорение – это производная скорости по времени: \[a_x = v'_x = - A\omega ^{2}cos(\omega t) = - a_{x max}cos(\omega t)\] Следовательно, \[a_{x max} = A\omega ^{2} = 0,06 \text{ м} \cdot (1 \text{ рад/с})^{2} = 0,06 \text{ м/с}^{2}\] 5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Ускорение – это производная скорости по времени: \[a_x = v'_x = - A\omega ^{2}cos(\omega t) = - a_{x max}cos(\omega t)\] Следовательно, \[a_{x max} = A\omega ^{2} = 0,06 \text{ м} \cdot (1 \text{ рад/с})^{2} = 0,06 \text{ м/с}^{2}\]

Ответ: 14

Период колебаний в данном случае определяется формулой \[T = \dfrac{1}{\nu} = \dfrac{1}{6,25 \text{ Гц}} = 0,16 \text{ с}\] То есть шарик возвращается в первоначальное положение за 0,16 секунды. Рассмотрим подробнее движение шарика на следующем рисунке:
В момент прохождения шарика положения равновесия кинетическая энергия будет максимальна, а потенциальная энергия – минимальна. В точках максимального отклонения шарика будет максимальна потенциальна энергия, а кинетическая – минимальна. Полная механическая энергия при этом будет неизменной по закону сохранения полной механической энергии.
1) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Разделим время на период колебаний, чтобы понять, в какой фазе находится шарик: \[N = \dfrac{t}{T} = \dfrac{2 \text{ с}}{0,16 \text{ c}} = 12,5\] То есть, в момент времени \(t = 2\) с шарик совершил 12 полных колебаний и ещё одно наполовину. Тогда шарик находится в точке максимального отклонения, следовательно, кинетическая энергия минимальна.
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Кинетическая энергия второй раз достигла минимума через \(t = 0,08\) с.
3) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Циклическая частота в данном случае определяется по формуле \[\omega = 2\pi \nu = 2\pi \cdot 6,25 \text{ Гц} = 12,5\pi \text{ рад/с}\] 4) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Разделим время на период колебаний, чтобы понять, в какой фазе находится шарик: \[N = \dfrac{t}{T} = \dfrac{3 \text{ с}}{0,16 \text{ c}} = 18,75\] То есть, в момент времени \(t = 3\) с шарик совершил 18 полных колебаний и ещё одно на \(\dfrac{3}{4}\). Тогда шарик проходит положения равновесия, следовательно, кинетическая энергия максимальна, а потенциальная минимальна. Так как выполняется закон сохранения полной механической энергии, то потенциальная энергия меньше кинетической.
5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
По закону сохранения полной механической энергии в изолированной системе, в которой действуют консервативные силы, полная механическая энергия остается неизменной.

Ответ: 13