Гидростатика. Сила Архимеда

Два одинаковых связанных бруска погрузились наполовину в воду (из условия). Пусть
\(\displaystyle\rho_1\) – плотность материала, из которого изготовлены бруски, а \(\displaystyle V\) – объем двух брусков. Тогда масса этих брусков будет равна \[\displaystyle m=\rho_1V\] Сила, с которой льдинки действуют на воду, равна силе тяжести \[\displaystyle F=mg=\rho_1Vg\] Сила, с которой бруски выталкиваются из воды, равна силе Архимеда \[F_\text{Арх}=\rho g\frac{V}2,\] где \(\displaystyle \rho\) – плотность воды, \(\displaystyle \frac{V}2\) – объем погруженного в воду тела (бруски погружены только
наполовину). Так как они плавают на поверхности воды, то эти силы уравновешивают друг друга, значит, имеем: \[\rho_1Vg=\rho g\frac{V}2,\] откуда \(\displaystyle \rho_1=\dfrac{\rho}2,\) то есть плотность материала, из которого сделаны бруски в 2 раза меньше плотности воды. Это говорит о том, что если взять семь брусков, то они также будут погружены наполовину, то есть на величину \[\frac72h=3,5\cdot5\text{ см}=17,5 \text{ см}.\] Глубина увеличится на \(\displaystyle 17,5 -5=12,5\) см.

Ответ: 12,5

Выталкивающая сила равна по определению \[F_\text{Арх}=\rho_\text{в} gV,\] где \(\displaystyle \rho_\text{в}\) – плотность жидкости, в которую погружен кубик, \(\displaystyle V\) – объем погруженной части тела. Так как куб погружен целиком, то \(\displaystyle V=a^3\), получим: \[F_\text{Арх}=\rho_\text{в} ga^3\] Выразив из этой формулы сторону \(\displaystyle a\), получаем \[a=\sqrt[3]{\frac{F_\text{Арх}}{\rho_\text{в}g }}\] Подставив значения в формулу, получим: \[a=\sqrt[3]{\frac{33,75\text{ Н}}{10\text{ м}/{c^2}\cdot1000\text{ кг}/\text{м}^3}}=0,15\text{ м}=15\text{ cм }\]

Ответ: 15

Сделаем рисунок с указанием сил, действующих в системе. Можем записать II закон Ньютона в векторной форме: \[\vec T+\vec F_\text{Арх}+m\vec g=m\vec a,\] так как цилиндр покоится, то ускорение равно нулю, в проекции на ось, направленную вертикально вниз, 2 закон Ньютона можно записать следующим образом: \[T- F_\text{Арх}+mg=0, \quad(1)\] массу цилиндра можно рассчитать, исходя из формулы \(\displaystyle \rho=\frac {m}{V} \Rightarrow m=\rho V,\) где V – объем цилиндра, который можно вычислить по формуле \[V=\pi R^2 H\] Из формулы (1) выразим силу натяжения нити T:\[T=F_\text{Арх}-mg=\rho_\text{в}gV-\rho gV=Vg(\rho_\text{в}-\rho)=\pi R^2 Hg(\rho_\text{в}-\rho),\] где \(\displaystyle \rho_\text{в}\) – плотность воды, подставим в получившееся выражение численные значения:\[T=3,14\cdot0,25^2\text{ м}\cdot0,2\text{ м}\cdot 10\text{ м}/\text{с}^2 \cdot (1000\text{ кг}/\text{м}^3-600\text{ кг}/\text{м}^3)=157\text{ Н }\]

Ответ: 157

Запишем условие равновесия кубика на поверхности эфира: \[F_\text{ Арх}=mg, \quad(1)\] где \(F_\text{ Арх}\) – выталкивающая сила, действующая на брусок, \(\displaystyle m\) – масса кубика, которую можно рассчитать, исходя из формулы \(\displaystyle \rho_\text{др}=\frac {m}{V} \Rightarrow m=\rho_\text{др} V,\) где V – объем кубика, который можно вычислить по формуле \[V=a^3.\] Выталкивающая сила равна: \[F_\text{ Арх}=\rho_\text{э}gV_\text{пчт},\] где \(\displaystyle V_\text{пчт}\) – объем погруженной части кубика,\[V_\text{пчт}=xa^2,\] где \(\displaystyle x\) – длина части стороны, находящейся под эфиром, значит, выражение (1) можно записать в следующем виде: \[\rho_\text{э}gxa^2=\rho_\text{др}a^3\] \[\rho_\text{э}x=\rho_\text{др}a, \text{ выразим } x=\frac{\rho_\text{др}a}{\rho_\text{э}}.\] Пусть \(\displaystyle y\) – длина части стороны, находящейся над эфиром, можем записать: \[y=a-x,\] искомая разница длин \(\displaystyle \delta=y-x=a-2x=a-2\cdot \dfrac{\rho_\text{др}a}{\rho_\text{э}}=a(1-2\cdot \dfrac{\rho_\text{др}}{\rho_\text{э}})\) подставим в получившееся выражение численные значения: \[\displaystyle \delta=0,18\text{ м}(1-2\cdot \dfrac{340\text{ кг}/\text{м}^3}{720\text{ кг}/\text{м}^3})=0,01\text{ м}=1\text{ см}\]

Ответ: 1

В условии сказано, что жидкости хорошо перемешиваются. Из этого следует, что при смешивании получается новая жидкость, плотность которой является средним арифметическим изначальных, так как взятые объемы одинаковы. \[\rho_\text{нов}=\dfrac{\rho_1+\rho_2}{2}\] Так как кубик плавает на поверхности, то можно записать: \[mg=F_\text{Арх},\] сила тяжести, действующая на тело не изменяется, значит, выталкивающая сила тоже остается постоянной. Сначала сила Архимеда равна:\[F_\text{Арх1}=\rho_1 g V_\text{пчт1},\] где \(\displaystyle V_\text{пчт1}=a^2x\) – объем погруженной части куба до смешивания. После смешения жидкостей в сосуде: \[F_\text{Арх2}=\rho_\text{нов} g V_\text{пчт2}=\dfrac{\rho_1+\rho_2}{2}g V_\text{пчт2},\]где \(\displaystyle V_\text{пчт2}=a^2y\) – объем погруженной части куба до смешивания, \(\displaystyle y\) – длина погруженной части стороны куба после смешивания жидкостей. Можем приравнять получившиеся выражения, получим \[\rho_1 g a^2x=\dfrac{\rho_1+\rho_2}{2} g a^2y\] \[\rho_1x=\dfrac{\rho_1+\rho_2}{2}y,\] выразим отсюда y: \[y=\frac{2\rho_1 x}{\rho_1+\rho_2},\] подставим в получившееся выражение численные значения: \[y=\frac{2\cdot1500\text{ кг}/\text{м}^3 \cdot1,3\text{ м}}{1500\text{ кг}/\text{м}^3+1100\text{ кг}/\text{м}^3}=1,5\text{ м}\]

Ответ: 1,5

При движении шарика в воде на него действует сила тяжести \(\displaystyle m\vec g\) и сила Архимеда \(\displaystyle F_\text{Арх}\). Сделаем рисунок с указанием сил, действующих в системе. Можем записать 2 закон Ньютона в векторной форме: \[\vec F_\text{Арх}+m\vec g=m\vec a,\] в проекции на ось, направленную вертикально вниз, 2 закон Ньютона можно записать следующим образом: \[mg- F_\text{Арх}=ma,\] Отсюда с учетом выражения для силы Архимеда \(\displaystyle F_\text{Арх}=\rho_\text{в} g V\), где V – объем шарика, а
\(\displaystyle \rho_\text{в}\) – плотность воды, получим: \[mg- \rho_\text{в} g V=ma,\] Выразим массу шарика:\[m=\frac{\rho_\text{в} g V}{g-a}.\] Исходя из формулы, плотность стекла равна \[\displaystyle \rho_\text{ст}=\frac {m}{V}=\frac{\rho_\text{в} g V}{(g-a)V}=\frac{\rho_\text{в} g }{g-a},\] подставим в получившееся выражение численные значения: \[\rho_\text{ст}=\frac{1000 \text{ кг}/\text{м}^3\cdot 10\text{ м}/\text{с}^2 }{10\text{ м}/\text{с}^2-6\text{ м}/\text{с}^2}=2500\text{ кг}/\text{м}^3\]

Ответ: 2500

Выталкивающая сила равна по определению \[F_\text{Арх}=\rho_\text{в} gV_\text{пчт},\] где \(\displaystyle \rho_\text{в}\) – плотность воды, \(\displaystyle V_\text{пчт}\) – объем погруженной части тела. Так как шар полностью опущен в воду, то \[V_\text{пчт}=\frac43\pi R^3,\] где \(\displaystyle R\) – радиус шара, получим: \[F_\text{Арх}=\rho_\text{в} g\frac43\pi R^3,\ (1)\] выразим из формулы R: \[R=\sqrt[3]{\frac{3F_\text{Арх}}{4\rho_\text{в}g\pi}}\] Подставив значения в формулу, получим: \[R=\sqrt[3]{\frac{3 \cdot100\text{ Н}} {4 \cdot1000 \text{ кг}/\text{м}^3\cdot10\text{ м}/{c^2}\cdot3,14}} \approx0,13\text{ м}=13\text{ см }\]

Ответ: 13