Грузы массами $M$ и $m=1$ кг связаны легкой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, по которому нить может скользить без трения (см. рис.) Груз массой $M$ находится на шероховатой плоскости (угол наклона к горизонту $\alpha=30^\circ$, коэффициент трения $\mu=0,2$). Чему равно минимальное значение массы $M$, при котором система грузов еще не выходит из первоначального состояния покоя?

Показать решение

Введем оси,как показано на рисунке

Запишем второй закон Ньютона на введенные оси для каждого из тел \[\begin{cases} O_1x_1 & T_1 -Mg \sin \alpha -F_\text{ тр}=0 \quad (1)\\ O_1y_1 & N-Mg\cos \alpha =0 \quad (2)\\ O_2y_2 & mg -T_2 =0\quad (3)\\ \end{cases}\] Так как нить невесомая и нерастяжимая, то $T_1=T_2$, кроме того тело покоится, а значит $F_\text{ тр}\leq \mu N$
Тогда сложив (1) с (3) получим \[mg-Mg\sin \alpha -F_\text{ тр}=0 \Rightarrow F_\text{ тр}= mg-Mg\sin \alpha\] Из (2) \[N=Mg\cos \alpha\] Так как $F_\text{ тр} \leq \mu N$, то \[mg-Mg \sin \alpha \leq \mu M g \cos \alpha\] Выразим массу груза. \[m \leq M(\sin \alpha + \mu \cos \alpha )\leq 1\text{ кг}(0,5 +0,2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2})\leq 0,67\text{ кг}\]

Ответ: 0,67

Задание 2

Определить массу воды $m$, которую теряет человек за $\tau =1$ ч в процессе дыхания, исходя из следующих данных. Относительная влажность вдыхаемого воздуха $f_1=60\%$, относительная влажность выдыхаемого воздуха $f_2=100\%$. Человек делает в среднем $n=15$ вдохов в минуту, выдыхая каждый раз $V=2,5$ л воздуха. Температура вдыхаемого и выдыхаемого воздуха принять $t=36 ^\circ C$; давление насыщенного водного пара при этой температуре $p_\text{н}=5,9$ кПа. Молярная масса воды $M=18$ г/м, универсальная газовая постоянная $R=8,3$ Дж/(моль$\cdot$К). Ответ дайте в граммах.

Показать решение

Относительная влажность равна: \[f=\dfrac{p}{p_\text{н}}\cdot 100\%,\] где $p$ – давление газа.
Тогда для вдыхаемого и выдыхаемого воздуха давление равно \[p_1=0,6p_\text{н}\] \[p_2=p_\text{ н}\] По уравнению Клапейрона– Менделеева: \[pV=\nu RT=\dfrac{m}{M}RT,\] где $\nu$ – количество вещества, $m$ – масса газа, $T$ – температура в Кельвинах.
Выразим массу водяных паров \[m=\dfrac{pVM}{RT}\] Откуда изменение массы за 1 вдох \[\Delta m =m_2-m_1=\dfrac{p_2VM}{RT}-\dfrac{p_1VM}{RT}=\dfrac{VM}{RT}0,4p_\text{ н}=\dfrac{2,5\cdot 10^{-3}\text{ м$^3$}\cdot 18\cdot 10^{-3}\text{ кг/моль}}{8,3\text{Дж/(моль$\cdot$К)}\cdot 309\text{ К}}\cdot 0,4 \cdot 5,9 \cdot 10^{3} \text{ Па}=4,1\cdot 10^{-5}\text{ кг}\] Это потеря за 1 вдох и выход, за час делается $N=60\cdot n=900$ вдохов. Откдуа потери за час \[\Delta M=900\Delta m=900\cdot 4,1\cdot 10^{-5}\text{ кг}=0,0369\text{ кг}=37\text{ г}\]

Ответ: 37

Задание 3

Конденсатор подключен к источнику с постоянным напряжением $U=10$ В, $С=10$ мкФ. Как изменится энергия конденсатора, если расстояние между обкладками заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=2$

Показать решение

Ёмкость конденсатора: \[C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0S}{d},\] где $S$ - -площадь пластин, $d$ – расстояние между пластинами
Площадь пластин и расстояние между ними не изменяют, а диэлектрическая проницаемость воздуха 1, следовательно, ёмкость конденсатора увеличится в 2 раза при внесениии диэлектрика и станет равной $C=20$ мкФ.
Конденсатор не отключают от напряжения, следовательно, изменение энергии конденсатора будет равно \[\Delta W =W_2-W_1=\dfrac{2CU^2}{2}-\dfrac{CU^2}{2}=\dfrac{CU^2}{2}=\dfrac{10\text{ мкФ}\cdot 100\text{ В}}{2}=500\text{ мкДж}\]

Ответ: 37

Задание 4

Линза, фокусное расстояние которой 15 см, даёт на экране изображение предмета с пятикратным увеличением. Экран пододвинули к линзе вдоль её главной оптической оси на 30 см. Затем при неизменном положении линзы передвинули предмет так, чтобы его изображение на экране снова стало резким. На какое расстояние сдвинули предмет относительно его первоначального положения?

Показать решение

Запишем формулу тонкой Линзы: \[\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f},\] где $F$ – фокусное расстояние, $d$ – расстояние от предмета до линзы, $f$ – расстояние от линзы, до изображения.
Откуда фокусное расстояние: \[F=\dfrac{fd}{f+d}\] Увеличение линзы же составит \[\text{Г}=\dfrac{f}{d}\] Первоначальное увеличение составляет 5, значит $f=5d$, откуда из фокусного расстояния \[F=\dfrac{5d^2}{6d}=\dfrac{5}{6}d \Rightarrow d= 1,2F=18\text{ см}\] $f=18\cdot 5 =90\text{ см}$. После того как экран и предмет передвинули, для нового положения предмета и изображения можно записать \[F=\dfrac{f_1d_1}{f_1+d_1}\] Опять же $f_1=f-30=60$, откуда $d_1$ \[\dfrac{1}{d_1}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{f_1} \Rightarrow \dfrac{1}{d_1}=\dfrac{f_1-F}{Ff_1} \Rightarrow\] \[d_1=\dfrac{Ff_1}{f_1-F}=\dfrac{15\text{ см\cdot 60\text{ см}}}{60\text{ см}-15\text{ см}}=20\text{ см}\] Откуда разность \[\Delta d= d_1-d=2\text{ см}\]

Ответ: 2