Если тело бросить под углом \(\displaystyle \alpha\) к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила — сила тяжести. Поэтому вследствие II закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения, проекции ускорения на координатные оси равны \(\displaystyle a_x = 0\), \(\displaystyle a_y = -g\). Вдоль оси Ox тело движется равномерно, а вдоль оси Oy равноускоренно, значит можно составить следующую систему уравнений для координат тела:

\[\begin{cases} x=x_0+v_\text{0x}t, \\ y=y_0+v_\text{0y}t+\dfrac{g_yt^2}{2}, \end{cases}\]

Так как мы рассмотриваем случай, изображенный на рисунке, то \(\displaystyle x_0=0\), \(\displaystyle y_0=0.\)

Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом: \[\begin{cases} v_x=v_0x=v_0cos\alpha, \\ v_y=v_\text{0y}t-gt, \end{cases}\] Значит, координаты для тела можно записать следующие: \[\begin{cases} x=v_\text{0}tcos\alpha, \\ y=v_\text{0}tsin\alpha-\dfrac{gt^2}{2}, (1) \end{cases}\] Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату \(\displaystyle y\) равной нулю, так как в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета: \[t_\text{пол}=\frac{2v_0sin\alpha}{g}\] Дальность полета — это значение координаты \(\displaystyle x\) в конце полета, т.е. в момент времени, равный \(\displaystyle t_\text{пол}\). Подставляя это значение в формулу координаты \(\displaystyle x\), получаем: \[L=\dfrac{2v_0cos\alpha v_0sin\alpha}{g}=\dfrac{v_0^2sin2\alpha}{g}\] Так как траектория движения тела симметрична, то время подъема на высоту \(\displaystyle H\) вдвое меньше времени всего полета \[t_\text{под}=\dfrac{v_0sin\alpha}{g}\] Тогда \[H=v_0sin\alpha t_\text{под}-\dfrac{gt_\text{под}^2}{2}=\dfrac{v_0^2sin^2\alpha}{2g}\] \[\boxed{L=\dfrac{v_0^2sin2\alpha}{g}}\] \[\boxed{H=\dfrac{v_0^2sin^2\alpha}{2g}}\]