Пружинное ружье наклонено под углом \(\alpha=45^\circ\) к горизонту. Из ружья производят выстрел шарика, массой \(m=100\) г, он проходит расстояние \(b=0,5\) м и, вылетая из дула ружья, пролетает расстояние \(L=1\) м от дула ружья и падает в точку \(M\), находящуюся на одном уровне с дулом ружья. Найдите энергию сжатая пружины. Ответ дайте в Дж и округлите до сотых. Трением о стенки дула пренебречь.
В процессе движения по дулу будет справедлив закон сохранения энергии \[E_n=E_k+E_{n1},\] где \(E_n\) – потенциальная энергия сжатой пружины, \(E_k\) – кинетическая энергия шарика при вылете из желоба, а \(E_{n1}\) – потенциальная энергия шарика при вылете из желоба. Расписав энергии по формулам получим: \[E_n=\dfrac{mv^2}{2}+ mgb\sin{\alpha} \quad (1)\] Движение шайбы после вылета из дула рассмотрим с точки зрения кинематики. Движение по оси, направленной вдоль поверхности земли будет равномерное, а движения по оси, перпендикулярной поверхности, будет равнозамедленное, с ускорение \(g\). Напишем уравнение координаты в точке \(M\). Пусть ось Ох направлена вдоль поверхности, ось Оу направлена перпендикулярно поверхности движения. \[\begin{cases}
Ox: L=vt \cos{\alpha} \\
Oy: 0=vt\sin{\alpha}-\dfrac{gt^2}{2}\\
\end{cases}\] где \(v\) – скорость шарика при вылете из дула, \(t\) – время полета шарика. Выразим из второго уравнения время и подставим его в первое. \[t=\dfrac{2v\sin{\alpha}}{g}\] \[L=\dfrac{2v^2 \sin{\alpha}\cos{\alpha}}{g}\] Выразим из последнего уравнения \(v^2\) \[v^2=\dfrac{Lg}{\sin{2\alpha}}\quad (2)\] Подставим (2) в (1) и получим \[E_n=\dfrac{mgL}{2\sin{2\alpha}+mgb\sin{\alpha}}=mg\left(\dfrac{L}{2\sin{\alpha}}+b\sin{\alpha}\right)=0,1\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}\left({\dfrac{1\text{ м}}{2\cdot 1}+0,5\text{ м}\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\right)\approx 0,85\text{ Дж}\]
Ответ: 0,85