Плечо силы — это расстояние от оси вращения до линия действия силы. В качестве примера на рисунке изображён некий диск, к которому приложена сила $\vec{F}$. Ось вращения перпендикулярна плоскости чертежа и проходит через точку O. Плечом силы является величина $l = OH$, где $\displaystyle H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки O на линию действия силы.

Момент силы считается положительным, если сила стремится поворачивать тело против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке.

Правило моментов

Тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил равна нулю.

Условия равновесия тела:

1) Силы уравновешены вдоль любой оси.

2) Суммарный момент сил, вращающих тело в одну сторону, равен суммарному моменту сил, вращающих тело в другую сторону.

Также условия равновесия тела можно сформулировать следующим образом:

1) Равна нулю векторная сумма всех сил, приложенных к телу.

2) Равна нулю алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к телу, относительно данной оси вращения или любой другой оси, параллельной данной.

Центр тяжести тела — центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.

1) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести находится на этой оси.

2) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести находится в этой плоскости.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести находится в этой точке.

Виды равновесия

Равновесие называется устойчивым, если после небольших внешних воздействий тело возвращается в исходное состояние равновесия.

Равновесие называется неустойчивым, если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия.

Равновесие называется безразличным, если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил равна нулю.

Задание 1 #7796

Сила, приложенная к рычагу слева равна 300 Н. Какой длины должно быть ее плечо, чтобы рычаг находился в равновесии, если момент силы, действующей на него справа, равен 90 Н$\cdot$м? (Ответ дайте в сантиметрах.)

Показать решение

Пусть $M_1$ – момент силы, приложенной к рычагу справа, а $M_2$ – слева. Чтобы рычаг находился в равновесии, моменты сил, действующих на него слева и справа, должны быть равны: \[M_1 = M_2\] В то же время момент силы $M_2$ по определению равен произведению силы на ее плечо: \[M_2 = F\cdot{l},\] где $F$ – величина силы, приложенной слева; $l$ – длина плеча слева. Исходя из этого получаем, что: \[M_1 = F\cdot{l}\] Отсюда выразим $l$: \[l = \frac{M_1}{F}\] \[l = \frac{90\text{ Н}\cdot{\text{м}}}{300\text{ Н}} = 0,3\text{ м} = 30\text{ см }\]

Ответ: 30

Задание 2 #7797

Тело массой 1 кг подвешено к правому плечу невесомого рычага (см. рисунок). К какому делению левого плеча рычага нужно подвесить груз массой 3,5 кг для достижения равновесия?

Показать решение

Пусть масса правого груза $m_1$, а левого – $m_2$.
Обозначим длину одного деления за $l$. Тогда, исходя из рисунка, длина правого плеча равна $l_1 = 7l$, а длина левого плеча равна $l_2 = nl$, где $n$ – количество делений.
Чтобы рычаг достиг равновесия, моменты сил, действующих на него справа и слева, должны быть равны: $M_1 = M_2$.
В то же время моменты сил $M_1$ и $M_2$ по определению равны произведению силы на ее плечо: \[M_1 = F_1l_1\] \[M_2 = F_2l_2\] Отсюда получаем: $F_1l_1 = F_2l_2$
Выразим длину левого плеча рычага: $\displaystyle{l_2 = \frac{F_1l_1}{F_2}}$
На оба груза действует единственная сила – сила тяжести, поэтому: \[F_1 = m_1g\] \[F_2 = m_2g\] С учетом этого: \[l_2 = \displaystyle{\frac{m_1g\cdot{l_1}}{m_2g}} = \frac{m_1l_1}{m_2}\] \[\displaystyle{l_2 = \frac{1\text{ кг}\cdot{7l}}{3,5\text{ кг}} = 2l}\Rightarrow nl = 2l \Rightarrow n = 2\]

Ответ: 2

Задание 3 #7798

Две вершины однородного железного куба объемом $V = 512$ см$^3$ опираются на две точки горизонтальной и вертикальной поверхностей, как показано на рисунке. Чему равно плечо силы реакции опоры относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку $O_3$? $O_2C = \sqrt{7}$ см (Ответ дайте в метрах.)

Показать решение

Плечо – это кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы. Мысленно продолжим линию действия силы реакции опоры $N$ и перпендикуляром соединим ее с прямой, проходящей через точку $O_3$. Получаем, что плечом этой силы является отрезок $O_3C$.
Воспользуемся геометрией, чтобы найти отрезок $O_3C$.
Рассмотрим треугольник $\Delta O_1O_2O_4$ с прямым углом $O_2$: \[O_1O_4^2 = O_1O_2^2 + O_4O_2^2\] \[O_1O_2 = O_2O_4 = a\] \[\displaystyle{O_1O_4 = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}}\] Далее найдем отрезок $O_2O_3$: \[\displaystyle{O_2O_3 = \frac{1}{2}O_1O_4} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\] Рассмотрим треугольник $\Delta O_3O_2C$ с прямым углом $C$: \[O_3O_2^2 = O_3C^2 + O_2C^2\] \[\displaystyle{O_3C = {\sqrt{O_3O_2^2 - O_2C^2 }}}\] \[\displaystyle{O_3C = {\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 - O_2C^2 }}}\] Зная объем куба, можно найти его сторону $a$: \[V = a^3 \Rightarrow a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{512\text{ см}^3} = 8 \text{ см }\] Тогда: \[\displaystyle{O_3C = {\sqrt{\left(\frac{8\text{ см}\cdot\sqrt{2}}{2}\right)^2 - (\sqrt{7}\text{ см})^2 }} = 5 \text{ см} = 0,05\text{ м }}\]

Ответ: 0,05

Задание 4 #7799

Две вершины однородного медного куба опираются на две точки горизонтальной и вертикальной поверхностей, как показано на рисунке. Чему равен момент силы трения относительно оси, проходящей через точку $O_1$ перпендикулярно плоскости рисунка, если масса куба равна 0,7 кг? $OO_2 = 0,4$ м (Ответ дайте в Н$\cdot$м)

Показать решение

Момент силы трения $M$ равен произведению модуля силы трения $F_\text{тр}$ на ее плечо $l$: \[M = F_\text{тр}\cdot{l}\] Прямая $OO_1$ – линия действия силы трения. По рисунку видно, что длина плеча силы трения $l$ относительно точки $O_1$ равна нулю (так как ось вращения, проходящая через точку $O_1$, перпендикулярна линии действия силы трения).
Следовательно, и момент силы трения $M$ так же равен нулю: \[M = F_\text{тр}\cdot{0}\text{ м} = 0\text{ Н}\cdot{\text{м }}\]

Ответ: 0

Задание 5 #7800

Две вершины однородного деревянного куба со стороной $a = 5\sqrt{2}$ м опираются на две точки горизонтальной и вертикальной поверхностей, как показано на рисунке. Чему равен момент силы тяжести относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку $A$? $AO_1 = 3$ м (Ответ дайте в МН$\cdot$м и округлите до десятых.)

Показать решение

Момент силы тяжести M равен произведению модуля силы тяжести $F$ на ее плечо $l$: \[M = F\cdot{l}\] Плечо – это кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы. Мысленно продолжим линию действия силы тяжести $F$ и перпендикуляром соединим ее с прямой, проходящей через точку $A$. Получаем, что плечом силы тяжести является отрезок $AO_3$.
Воспользуемся геометрией, чтобы найти отрезок $AO_3$.
Рассмотрим треугольник $\Delta O_1O_2O_3$ с прямым углом $O_3$: \[O_1O_2^2 = O_1O_3^2 + O_2O_3^2\] \[O_1O_3 = O_2O_3\] \[O_1O_2^2 = 2O_1O_3^2\] \[\displaystyle{O_1O_3 = \frac{O_1O_2}{\sqrt{2}}}\] \[\displaystyle{O_1O_3 = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} = 5\text{ м }\] Рассмотрим треугольник $\Delta O_1AO_3$ с прямым углом A: \[O_1O_3^2 = AO_3^2 + AO_1^2\] \[AO_3 = \sqrt{O_1O_3^2 - AO_1^2}\] \[AO_3 = \sqrt{(5\text{ м})^2 - (3\text{ м})^2} = 4\text{ м }\] Сила тяжести равна произведению массы куба $m$ на ускорение свободного падения $g$: \[F = mg\] Подставим это значение в исходную формулу: \[M = mg\cdot{AO_3}\] Зная плотность и объем куба, можно найти его массу: \[\displaystyle{\rho =\frac{m}{V}},\text{ где }V = a^3\] \[m = \rho V = \rho a^3\] Подставим это значение в предыдущую формулу и найдем искомую величину: \[M = \rho a^3g\cdot{AO_3}\] \[\displaystyle{M = 400\text{ }\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot{(5\sqrt{2}\text{ м})}^3\cdot{10\frac{\text{м}}{\text{с}^2}}\cdot{4}\text{ м} \approx 5,7\text{ М\,Н$\cdot$м }}\]

Ответ: 5,7

Задание 6 #7801

На прут массой 1 кг со стороны вертикальной поверхности действует сила трения, равная 3 Н. Найдите момент силы реакции опоры, действующей на него со стороны горизонтальной поверхности, относительно оси, проходящей через точку $O$ перпендикулярно плоскости рисунка, если $AB = 6,5$ м, а $AC = 9,7$ м. (Ответ дайте в Н$\cdot$м и округлите до целого числа.)

Показать решение

Момент действующей на горизонтальную стенку силы реакции опоры относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку $O$, равен: \[M = N_2l,\] где $l$ – плечо силы. Мысленно продолжим линию действия силы рекции опоры $N_2$ и перпендикуляром соединим ее с прямой, проходящей через точку $O$. Получаем, что плечом силы $N_2$ является отрезок $OC_1$, равный: \[\displaystyle{OC_1 = \frac{BC}{2}} = \frac{\sqrt{AC^2 - AB^2}}{2}\] \[OC_1 = \frac{\sqrt{9,7\text{ м}^2 - 6,5\text{ м}^2}}{2} = 3,6\text{ м }\] Чтобы найти неизвестную величину $N_2$, укажем все силы, действующие на прут, и запишем второй закон Ньютона с учетом того, что тело находится в равновесии: \[\vec{F}_{\text{тр}1} + \vec{N}_1 + \vec{F} + \vec{N}_2 + \vec{F}_{\text{тр}2} = 0\] Введем оси $OX$ и $OY$, спроецируем на них все силы. \[OX: N_1 - F_{\text{тр}2} = 0\] \[OY: F_{\text{тр}1} + N_2 - F = 0\] Выразим силу реакции опоры $N_2$, действующую на горизонтальную стенку: \[N_2 = F - F_{\text{тр}1}\] Сила тяжести $F$ по определению равна: $F = mg$, поэтому: \[N_2 = mg - F_{\text{тр}1}\] \[N_2 = 1\text{ кг}\cdot{10\text{ }\frac{\text{м}}{\text{c}}^2} - 3\text{ H} = 7\text{ H }\] Подставим найденные значения в начальную формулу: \[M = 7{\text{ Н}\cdot{3,6}\text{ м}} = 25,2\text{ Н}\cdot{\text{м}}\approx{25}\text{ Н}\cdot{\text{м }}\]

Ответ: 25

Задание 7 #7802

Группа школьников проводила лабораторную работу, исследуя основные условия равновесия легкого рычага, плечи сил которого равны $l_1$ и $l_2$. К рычагу с двух сторон ребята подвесили грузы массой $m_1$ и $m_2$.
Результаты эксперимента были занесены в следующую таблицу:

Чему равна масса груза $m_2$, если рычаг находился в равновесии? (Ответ дайте в килограммах и округлите до десятых.)

Показать решение

Так как рычаг находился в равновесии, то моменты сил, действующих на него справа и слева, должны быть равны: $M_1 = M_2$.
В то же время моменты сил $M_1$ и $M_2$ по определению равны произведению силы на ее плечо: \[M_1 = F_1l_1\] \[M_2 = F_2l_2\] Отсюда получаем: $F_1l_1 = F_2l_2$
На оба груза действует единственная сила – сила тяжести, поэтому: \[F_1 = m_1g\] \[F_2 = m_2g\] С учетом этого: $M_1 = m_1g\cdot{l_1}$ и $M_2 = m_2g\cdot{l_2}$. Приравняв $M_1$ и $M_2$, получаем, что: \[m_1g\cdot{l_1} = m_2g\cdot{l_2}\] \[m_1l_1 = m_2l_2\] Выразим массу второго груза $m_2$: \[\displaystyle{m_2 = \frac{m_1l_1}{l_2}}\] \[\displaystyle{m_2 = \frac{0,7\text{ кг}\cdot{0,84\text{ м}}}{0,35\text{ м}}} \approx 1,7\text{ кг }\]

Ответ: 1,7

предыдущая
подтема 1 2