К рычагу подвешены два груза массами \(m_1 = 2\) кг и \(m_2 = 0,5\) кг так, что он находится в равновесии. Длину плеча \(d_1\) увеличили в 3 раза. На сколько должна измениться масса второго груза, чтобы равновесие рычага не нарушилось? (Ответ дайте в килограммах.)
Так как рычаг после увеличения длины плеча \(d_1\) в 3 раза остается в равновесии, то моменты сил, действующих на него справа и слева во втором случае, должны быть равны: \(M_1 = M_2\).
В то же время моменты сил \(M_1\) и \(M_2\) по определению равны произведению силы на ее плечо: \[M_1 = F_1\cdot{3d_1}\] \[M_2 = F_2\cdot{d_2}\]
Отсюда получаем: \(F_1\cdot{d_1} = F_2\cdot{d_2}\)
На оба груза действует единственная сила – сила тяжести, поэтому: \[F_1 = m_1g\] \[F_2 = m_2^{'}g,\] где \(m_2^{'}\) – масса груза, подвешенного справа, во втором случае.
С учетом этого: \(M_1 = m_1g\cdot{3d_1}\) и \(M_2 = m_2^{'}g\cdot{d_2}\).
Приравняв \(M_1\) и \(M_2\), получаем, что: \[m_1g\cdot{3d_1} = m_2^{'}g\cdot{d_2}\] \[3m_1d_1 = m_2^{'}d_2\] Выразим массу второго груза \(m_2^{'}\): \[\displaystyle{m_2^{'} = \frac{3m_1d_1}{d_2}}\] Заметим, что \(\displaystyle{\frac{m_1d_1}{d_2} = m_1}\) (это следует из условия равновесия рычага для первого случая). \[m_2^{'} = 3m_1\] То есть, чтобы рычаг после увеличения длины плеча \(d_1\) в 3 раза сохранил равновесие, масса второго груза должна так же увеличиться в 3 раза.
Тогда его масса должна измениться на: \[\Delta m = m_2^{'} - m_2 = 3m_2 - m_2 = 2m_2\] \[\Delta m = 2\cdot{0,5\text{ кг}} = 1\text{ кг }\]
Ответ: 1