Механическая энергия $\displaystyle W$ тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий: \[W = E_\text{к} + E_\text{п}\] Механическая энергия системы тел равна сумме их кинетических энергий и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.

Пусть тело совершает движение под действием силы тяжести и/или силы упругости пружины. Будем считать, что трения нет. Пусть в начальном положении кинетическая и потенциальная энергии тела равны $\displaystyle E_\text{к1}$ и $\displaystyle E_\text{п1}$, в конечном положении — $\displaystyle E_\text{к2}$ и $\displaystyle E_\text{п2}.$ Работу внешних сил при перемещении тела из начального положения в конечное обозначим $\displaystyle A.$ По теореме о кинетической энергии $E_\text{к2}-E_\text{к1} = A.$ Однако работа консервативных сил равна разности потенциальных энергий: $A = E_\text{п1}-E_\text{п2}$, Отсюда получаем \[E_\text{к2}-E_\text{к1} = E_\text{п1}-E_\text{п2},\] или \[E_\text{к1} + E_\text{п1} = E_\text{к2} + E_\text{п2}.\] Левая и правая части данного равенства представляют собой механическую энергию тела в начальном и конечном положении: \[W_1=W_2.\] Следовательно, при движении тела в поле силы тяжести и/или на пружине механическая энергия тела остаётся неизменной при отсутствии трения.

Закон сохранения механической энергии: \[W=const\] Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется. При этих условиях могут происходить лишь превращения энергии: из кинетической в потенциальную и наоборот. Общий запас механической энергии системы остаётся постоянным.

Единицы измерения: [$\text{Дж}$] (Джоуль).

Задание 1 #7396

Мячик массой 0,5 кг, брошенный вертикально вверх, обладал кинетической энергией $E_{\text{к}}=50$ Дж. На какую максимальную высоту поднялся мячик? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Показать решение

По закону сохранения энергии $ E_{\text{к}} = E_{\text{п}}$ $\rightarrow$ $mgh=E_\text{к}$
Отсюда: \[\displaystyle h = \frac{E_\text{к}}{mg} = \frac{50}{0,5\cdot10} = 10 \text{ м }\]

Ответ: 10

Задание 2 #7397

Камень бросили вертикально вверх с начальной скоростью $V = 4$ м/с. Найдите массу камня, если на максимально достигнутой высоте потенциальная энергия камня составила 40 Дж? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Показать решение

По закону сохранения энергии $ E_{\text{к}} = E_{\text{п}}$ $\rightarrow$ $\displaystyle \frac{mV^2}{2} = E_\text{п}$ Отсюда: \[\displaystyle m = \frac{2E_\text{п}}{V^2} = \frac{80}{16} = 5 \text{ кг }\]

Ответ: 5

Задание 3 #7398

Автомобиль с выключенным двигателем проехал 28,8 м вниз по дороге, проложенной под углом 30$^{\circ}$ к горизонту. При этом его начальная скорость была равна 6 . Какова конечная скорость автомобиля? Трением пренебречь.

Показать решение

По рисунку видно, что $\displaystyle h=S\cdot\frac{1}{2}=\frac{S}{2}$
По закону сохранения энергии: \[E_\text{п0}+E_\text{к0} = E_\text{к}\] \[\displaystyle \frac{mV_0^2}{2} + mgh = \frac{mV^2}{2}\] \[V=\sqrt{V_0^2 + 2gh} = \sqrt{V_0^2 + gS} = \sqrt{36 + 10\cdot28,8} = 18\: \text{м/с}\]

Ответ: 18

Задание 4 #13761

У основания гладкой наклонной плоскости шайба массой 10 г обладает кинетической энергией 0,04 Дж. Определите максимальную высоту, на которую шайба может подняться по плоскости относительно основания. Сопротивлением воздуха пренебречь.

“Демоверсия 2018”

Показать решение

Из закона сохранения энергии: \[E=\dfrac{mv^2}{2}=mgh \Rightarrow h=\dfrac{E}{mg}=\dfrac{0,04\text{ Дж}}{0,01\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}}=0,4\text{ м}\] где $m$ – масса тела, $v$ – скорость тела в начальный момент времени, $h$ – максимальная высота подъема.

Ответ: 0,4

Задание 5 #13762

Максимальная высота, на которую шайба массой 40 г может подняться по гладкой наклонной плоскости относительно начального положения, равна 0,2 м. Определите кинетическую энергию шайбы в начальном положении. Сопротивлением воздуха пренебречь.

“Демоверсия 2020”

Показать решение

Из закона сохранения энергии: \[E_k=mgh=0,04\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 0,2\text{ м}=0,08\text{ Дж}\]

Ответ: 0,08

Задание 6 #13763

Автомобиль с выключенным двигателем сняли со стояночного тормоза, и он покатился под уклон, составляющий угол 30$^\circ$ к горизонту. Проехав 10 м, он попадает на горизонтальный участок дороги. Чему равна скорость автомобиля в начале горизонтального участка дороги? Трением пренебречь.

“Досрочная волна 2020 вариант 1”

Показать решение

Из закона сохранения энергии \[mg S \sin 30^\circ=\dfrac{mv^2}{2},\] где $m$ – масса автомобиля, $S$ – путь автомобиля.
Откуда скорость: \[v=\sqrt{2gS\sin 30^\circ}=\sqrt{2\cdot 10\text{ м/с$^2$}\cdot 10\text{ м}\cdot 0,5}=10\text{ м/с}\]

Ответ: 10