Равноускоренное прямолинейное движение

Ускорение можно найти по формуле: \[\displaystyle a=\frac{\upsilon_{1}-\upsilon_{0}}{\Delta t}\] На интервале времени от \(t_{1}=8\) до \(t_{2}= 12\) \(\upsilon_{0}=15\) м/с, а \(\upsilon_{1}=5\) м/с. Подставив эти значения, получаем: \[\displaystyle a=\frac{5\text{ м/с}-15\text{ м/с}}{4\text{ с}}=-2,5 \text{ м/с}^{2}\]

Ответ: -2,5

Ускорение тела равно: \[a_x=\dfrac{\Delta v_x}{t}= \dfrac{-8\text{ м/с}}{4\text{ с}}=-2\text{ м/с$^2$}\]

Ответ: -2

Уравнения для координаты и скорости движения предмета в проекциях на ось \(\textit{Y}\) имеют вид: \[y = y_{0} + \upsilon_{0y}t + \dfrac{a_{y}t^{2}}{2}, \quad \upsilon_{y} = \upsilon_{0y} + a_{y}t\] \[y = h + \upsilon_{0y}t - \dfrac{gt^{2}}{2}\] Так как начальная скорость равна 0, то высота подъема шара и скорость выражаются формулами: \[h = \dfrac{a\tau^{2}}{2}\] \[\upsilon_{0y} = a\tau\] Эти условия соответствуют моменту начала падения предмета. В момент падения предмета на землю \(y = 0\), то есть:
\[0 =\dfrac{a\tau^{2}}{2} + a\tau t - \dfrac{gt^{2}}{2} \Rightarrow 0 = a\tau^{2} + 2a\tau t - gt^{2}\]
Решая квадратное уравнение относительно \(t\), получаем:
\[t = \dfrac{\tau}{g}( a + \sqrt{a(a + g})) =\dfrac{5}{10}(2 + \sqrt{2(2 + 10}))= 3,45 \text{ с}\]

Ответ: 3,45

1 способ:
Примем, что начальная скорость тела равна \(\upsilon_0=4\) м/с, а скорость, которую тело приобрело спустя время \(t\), равна \(\upsilon=3\) м/с. Перемещение при равноускоренном движении можно выразить формулой: \[S_x=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2a_x}\] \[S=\frac{v^2-v^2_0}{-2a}=\frac{(3 \text{ м/с})^2-(4 \text{ м/с})^2}{2\cdot0,5 \text{ м/с}^2}=7 \text{ м}\]
2 способ:
Примем, что начальная скорость тела равна \(\upsilon_0=4\) м/с, а скорость, которую тело приобрело спустя время \(t\), равна \(\upsilon=3\) м/с. По формуле скорости при равнозамедленном движении: \[\upsilon=\upsilon_0-at\] Отсюда выразим \(t\): \[t=\dfrac{\upsilon_0-\upsilon}{a}\] По формуле перемещения при равнозамедленном движении: \[S=\upsilon_0t-\dfrac{at^2}{2}\] Подставив \((t)\), получим: \[S=\upsilon_0\cdot\dfrac{\upsilon_0-\upsilon}{a}-\dfrac{a\cdot\dfrac{(\upsilon_0-\upsilon)^2}{a^2}}{2}=\dfrac{\upsilon_0(\upsilon_0-\upsilon)}{a}-\dfrac{(\upsilon_0-\upsilon)^2}{2a}=\dfrac{\upsilon_0-\upsilon}{a}\cdot\Bigg(\upsilon_0-\dfrac{(\upsilon_0-\upsilon)}{2}\Bigg)\] Подставим значения: \[S=\dfrac{4\text{ м/с}-3\text{ м/с}}{0{,}5\text{ м/с$^2$}}\cdot\Bigg(4\text{ м/с}-\dfrac{4\text{ м/с}-3\text{ м/с}}{2}\Bigg)=7\text{ м}\]

Ответ: 7

Общий вид закона изменения со временем координаты тела при движении с постоянным ускорением имеет вид: \[\textit{x}=\textit{x}_{0}+\upsilon_{0x}t+\frac{a_{x}t^{2}}{2}\]
Приведенная в условии зависимость координаты тела от времени \(\textit{x}= 18+32\textit{t}-6\textit{t}^{2}\) описывается этой квадратичной зависимостью. Приравнивая коэффициенты при t находим, что величина постоянного ускорения \(a_{x}=-12\) м/c\(^{2}\)

Ответ: -12

Путь можно найти двумя способами:

1 способ:
Путь — величина строго положительная, это длина пройденного телом участка траектории. Под перемещением же тела понимается изменение его координаты, перемещение может быть отрицательным. Путь можно найти как площадь под графиком зависимости скорости от времени без учета знаков, а перемещение с их учетом. В данном случае необходимо найти площадь трапеции.
\[S=\dfrac{10+40}{2}\cdot10=250 \text{ м}\]

2 способ:
Рассмотрим участок движения от 0 до 10 с, где \(\upsilon_{0} = 10\) м/с , \(\upsilon_{1} = 40\) м/с.
\[\displaystyle a = \dfrac{\upsilon_{1}-\upsilon_{0}}{\Delta t} = \dfrac{40-10}{10} = 3 \text{ м/с$^{2}$}\] \[\displaystyle S = \upsilon_{0}t + \dfrac {at^2}{2} = 10\cdot10+\dfrac {3\cdot10^2}{2} = 250 \text{ м}\]

Ответ: 250

Ускорение: \[a_x=\dfrac{\Delta v_x}{t}=\dfrac{-8\text{ м/с}}{1\text{ с}}=-8\]

Ответ: -8