С глубины \(H=30\) м медленно поднимается пузырек воздуха. Определите объем пузырька \(V_1\) на глубине \(H\), если на глубине \(h=20\) м от поверхности пузырек был объемом \(V_2\)= 10 мм\(^3\). Давление сверху озера принять атмосферным, а воздух внутри пузырька является идеальным газом. Ответ дайте в мм\(^3\).
Давление на глубине \(H\) будет складываться из гидростатического давления и давления окружающей среды. \[p_1=p_0+\rho gH \quad (1)\] Аналогично на глубине \(h\) \[p_2 = p_0+ \rho g h \quad (2)\] где \(\rho\) – плотность воды.
При подъеме пузырька воздуха его температура не изменяется, а газ внутри можно считать идеальным газом. Значит по закону Бойля– Мариотта \[p_1 V_1=p_2V_2\] Отсюда начальный объем \[V_1=\dfrac{p_2V_2}{p_1} \quad(3)\] Подставим в (3) формулы (1) и (2) \[V_1=\dfrac{V_2( p_0 +\rho gh)}{p_0+ \rho g H}=\dfrac{10\text{ мм$^3$}(10^5\text{ Па}+ 1000\text{ кг/м$^3$}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 20\text{ м})}{10^5\text{ Па}+ 1000\text{ кг/м$^3$}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 30\text{ м}}=7,5 \text{ мм$^3$}\]
Ответ: 7,5