Тело массой \(m=10\) кг лежит на наклонной плоскости с углом наклона \(\alpha= 30^{\circ}\) градусов к горизонту. Коэффициент трения равен \(\mu=0,4\). Чему равна сила трения \(F_{\text{тр}}\) (ответ округлите до десятых)? (Ответ дайте в Ньютонах.)
Чтобы ответить на этот вопрос, надо узнать, покоится тело или нет? Для этого рассмотрим момент, когда угол наклона равен критичскому \(\alpha=\alpha_{\text{кр}}\), при котором тело только-только начинает скользить. По второму закону Ньютона: \[\vec{F_{\text{тр}}} +m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}\] Спроецируем уравнение на оси Ох и Оу: \[Ox: F_{\text{тр}}- mg\sin{\alpha_{\text{кр}}}=0 \Rightarrow F_{\text{тр}}= mg\sin{\alpha_{\text{кр}}}\] \[Oy: N-mg\cos{\alpha_{\text{кр}}} = 0\Rightarrow N=mg\cos{\alpha_{\text{кр}}}\] По определению сила трения скольжения равна: \[F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg\cos{\alpha_{\text{кр}}}\] \[mg\sin{\alpha_{\text{кр}}} = \mu mg\cos{\alpha_{\text{кр}}}\] Отсюда: \[\mu\cos{\alpha_{\text{кр}}} = \sin{\alpha_{\text{кр}}}\Rightarrow \mu = tg{\alpha_{\text{кр}}}\] Так как \(\alpha_{\text{кр}}\) – угол, при котором тело начинает скользить, а \(tg{\alpha}\) – возастающая функцию на промежутке (0;\(\dfrac{\pi}{2}\)), то для \(\alpha < \alpha_{\text{кр}}\):
если \(\mu < tg{\alpha}\), то тело начнёт скользить;
если \(\mu > tg{\alpha}\), то тело будет покоиться.
Сравним данное значение \(\mu\) с тангенсом наклона: \[0,4 < tg{30^{\circ}} \approx 0,6 \Rightarrow \text{тело скользит}\] Значит, нужная сила – сила трения скольжения, которую можно найти через силу реакции опоры: \[F_{\text{тр}} = \mu N =\mu mg\cos{\alpha}\] \[F_{\text{тр}} = 0,4\cdot 10\text{ кг}\cdot 10\text{ м/с$^2$}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[F_{\text{тр}} \approx 34,6\text{ H }\]
Ответ: 34,6