Из начала декартовой системы координат в момент времени \(t=0\) тело (материальная точка) брошено под углом к горизонту. В таблице приведены результаты измерени координат тела \(x\) и \(y\) в зависимости от времени наблюдения. Выберите два верных утверждения на основании данных, приведённых в таблице. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Время, с} & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 \\
\hline
\text{Координата x, м} & 0,6 & 1,2 & 1,8 & 2,4 \\
\hline
\text{Координата y, м} & 0,75 & 1,4 & 1,95 & 2,4 \\
\hline
\end{array}\]
1) Максимальная высота подъема \(h_{max}=4,8 \text{ м}\).
2) Максимальная дальность полёта \(L_{max}=4,8 \text{ м}\).
3) Максимальная дальность полёта \(L_{max}=9,6 \text{ м}\).
4) В момент времени \(t_1=1{,}2 \text{ с}\) скорость тела равна 5 .
5) В момент времени \(t_2=0{,}6 \text{ с}\) проекция скорости \(\upsilon_y\) положительна.
1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Для начала нам нужно найти время \(t_\text{подъема}\), за которое тело поднимется на максимальную высоту: \[\upsilon_y=\upsilon_{0y}+a_yt_\text{подъема}.\] Начальная скорость \(\upsilon_{0y}\) нам неизвестна, её мы можем расчитать по следующей формуле: \[y=y_0 + \upsilon_{0y}t + \dfrac{a_yt^2}{2}\] \[\upsilon_{0y}=\dfrac{y - \dfrac{a_yt^2}{2}}{t},\] где \(t\) любой выбранный критерий из таблицы, также мы знаем, что \(a_y=-g\). Теперь \(t_\text{подъема}\) можем рассчитать так (на высоте \(h_{max}\) \(\upsilon_y=0 \text{ м/с}\)): \[t_\text{подъема}=\dfrac{\upsilon_y - \dfrac{y - \dfrac{a_yt^2}{2}}{t}}{a}=\dfrac{0 \text{ м/с} - \dfrac{0,75 \text{ м} - \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,1^2 \text{ с}^2}{2}}{0,1 \text{ с}}}{-10 \text{ м/с}^2}=0,8 \text{ с}\] Высоту \(h_{max}\) мы можем найти следующим способом: \[h_{max}=y_0 + \upsilon_{0y}t_\text{подъема} + \dfrac{a_yt_\text{подъема}^2}{2}=\dfrac{y-\dfrac{a_yt^2}{2}}{t}t_\text{подъема} + \dfrac{a_yt_\text{подъема}^2}{2}\] \[h_{max}=\dfrac{0,75 \text{ м} - \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,1^2 \text{ с}^2}{2}}{0,1 \text{ с}}0,8 \text{ с} + \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,8^2 \text{ с}^2}{2}=3,2 \text{ м}.\]
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Дальность полёта мы можем высчитать по формуле: \[L_{max}=x_0 + \upsilon_{0x}t_{\text{полета}} + \dfrac{a_xt_{\text{полета}}^2}{2}\] Время подъема симметрично времени падения, тогда: \[t_{\text{полета}}=2t_\text{подъема}\] Начальная скорость \(\upsilon_{0x}\) нам неизвестна, её мы можем расчитать по следующей формуле: \[x=x_0 + \upsilon_{0x}t + \dfrac{a_xt^2}{2}=\upsilon_{0x}t\] \[\upsilon_{0x}=\dfrac{x}{t}\] \(x_0=0 \text{ м}\), так как действие идёт из начала системы отсчёта, также мы знаем, что по оси \(Ox\) ускорение зануляется. Подставляем неизестные величины в начальную формулу: \[L_{max}=\dfrac{x}{t}\cdot 2t_\text{подъема}=\dfrac{0,6 \text{ м}}{0,1 \text{ с}}\cdot 2 \cdot 0,8 \text{ с}= 9,6 \text{ м}.\]
3) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Смотреть пункт 2.
4) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Скорость тела вычисляется как результирующая проекции скоростей в определенный момент времени: \[\upsilon=\sqrt{ \upsilon_x^2 + \upsilon_y^2}\] Проекции скоростей вычисляются по формулам: \[\upsilon_y=\upsilon_{0y}+a_yt_1\] \[\upsilon_x=\upsilon_{0x}+a_xt_1\] Мы знаем, что по оси \(Ox\) ускорение зануляется, тогда формула принимает следующий вид: \[\upsilon_x=\upsilon_{0x}\] \[\upsilon_x=\upsilon_{0x}\] Подставим все неизвестные значения в начальную формулу: \[\upsilon=\sqrt{ \left( \dfrac{x}{t}\right) ^2 + \left( \dfrac{y - \dfrac{a_yt^2}{2}}{t}+a_yt_1\right) ^2}\] \[\upsilon=\sqrt{ \left( \dfrac{0,6 \text{ м}}{0,1 \text{ с}}\right) ^2 + \left( \dfrac{0,75 \text{ м} - \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,1^2 \text{ с}^2}{2}}{0,1 \text{ с}}+(-10 \text{ м/с}^2) \cdot 1,2 \text{ с}\right) ^2}=9,1 \text{ м/с}.\]
5) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Так как \(t_\text{подъема}\) больше заданного времени, значит в промежуток времени \(t_2\) тело ещё поднималось, образуя положительную проекцию на ось \(Oy\).
Ответ: 35