28. Механика (Расчетная задача).
Дельтапланерист на юг летит со скоростью 12 м/с относительно земли, внезапно подул восточный ветер со скоростью 9 м/с. Найдите скорость дельтапланириста относительно земли, при восточном ветре.
Так как скорости самолета и ветра перпендикулярны, то скорость самолета относительно земли можно найти по теореме Пифагора \[v=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=15\text{ м/с}\] \(v_1\) и \(v_2\) – скорости дельтапланериста и ветра.
Ответ: 15
Найдите, сколько времени потребуется, чтобы увеличить скорость тела в три раза при его движении по прямой в одном направлении на пути 30 м. Если начальная скорость тела равна 7,5 м/с.
Запишем формулу ускорения \[a=\dfrac{v-v_0}{t}=\dfrac{3v_0-v_0}{t}=\dfrac{2v_0}{t} \quad (1)\] где \(v\) и \(v_0\) – конечная и начальная скорости тела, \(t\) – время движения.
А расстояние находится по формуле \[S=v_0t+\dfrac{at^2}{2} \quad (2)\] Подставим (1) в (2) \[S=v_0t+\dfrac{2v_0t^2}{2t}=v_0t+v_0t \Rightarrow t=\dfrac{S}{2v_0}=\dfrac{30\text{ м}}{2\cdot 7,5\text{ м/с}}=2\text{ с}\]
Ответ: 2
Автомобиль выдвигается из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 80 км, со скоростью 50 км/ч. В это же время из пункта Б выезжает трактор в том же направлении со скоростью 30 км/ч. Через сколько времени автомобиль догонит трактор?
“Досрочная волна 2019 вариант 1”
Автомобиль должен проехать на 80 км больше, чем трактор, значит: \[v_1t=S+v_2t,\] где \(v_1\) – скорость автомобиля, \(v_2\) – скорость трактора.
Откуда время движения: \[t=\dfrac{S}{v_1-v_2}=\dfrac{80\text{ км}}{50\text{ км/ч}-30\text{ км/ч}}=4\text{ ч}\]
Ответ: 4
Камень, брошенный со скоростью 6 м/с с балкона какого-то этажа почти вертикально вверх, упал на площадку, установленную на высоте шестого этажа через 6 секунд после броска. С какой высоты бросили камень, если каждый этаж занимает 2 метра. Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ дайте в метрах.
Высота полёта камня описывается уравнением \(h=h_0+v_0t-\dfrac{gt^2}{2}\),
где \(h_0\) — начальная высота броска, \(v_0\) — начальная скорость камня.
Через три секунды камень упал на высоту шестого этажа, то есть величина \(h=2*6=12 \text{ м}\).
Найдём \(h_0\):
\[h=h_0+v_0t-\dfrac{gt^2}{2} \longrightarrow h_0=h-v_0t+\dfrac{gt^2}{2}\]
\[h_0=12-6\cdot 6+\dfrac{10\cdot6^2}{2}=156\text{ м}\]
Камень бросили с высоты 156 м.
Ответ: 156
Машина замедлялось с постоянным ускорением и на последние 20 м/с перед остановкой скорость снизилась за 200 секунд. Какое расстояние преодолела машина за это время?
Чтобы найти перемещение автомобиля при равноускоренном движении, воспользуемся следующей формулой:
\[S=\dfrac{at^2}{2}\]
где ускорение можем определить следующим образом:
\[a=\dfrac{\Delta v}{t}\]
\[S=\dfrac{\Delta vt}{2}\]
Подставим численные значения:
\[S=\dfrac{20\cdot 200}{2}=2000 \text{ м}\]
Ответ: 2000
Мяч брошен вертикально вверх с какой-то начальной скоростью. За 3 секунды мяч пролетел расстояние 60 метров, считая от момента броска. Найдите начальную скорость мяча при броске. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ приведите в м/с.
Запишем уравнение, описывающее изменение координаты для тела, брошенного вертикально вверх.
\[x(t)=v_0t-\dfrac{gt^2}{2}\ (1)\]
где \(v_0\) — искомая скорость, \(t\) — время полета, а за за перемещение можем взять \(x(t)\)
Выразим из формулы (1) начальную скорость:
\[x(t)=v_0t-\dfrac{gt^2}{2} \Longrightarrow v_0=\dfrac{x(t)}{t}+\dfrac{gt}{2}\]
Подставим численные значения:
\[v_0=\dfrac{60}{3}+\dfrac{10\cdot3}{2}=35 \text{ м/с}\]
Ответ: 35
Камень, брошенный с крыши почти вертикально вверх, упал на землю через 7 секунд после броска. Высота дома 14 метров. С какой скоростью бросили камень? Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ дайте в метрах в секунду.
Высота полёта камня описывается уравнением \(h=h_0+v_0t-\dfrac{gt^2}{2}\),
где \(h_0\) — начальная высота броска, \(v_0\) — начальная скорость камня.
Через три секунды камень упал на землю, то есть величина \(h\) стала равна нулю.
Найдём \(h_0\):
\[0=h_0+v_0t-\dfrac{gt^2}{2} \Longrightarrow v_0=\dfrac{gt^2-2h_0}{2t}\]
\[v_0=\dfrac{10\cdot 7^2-2\cdot 14}{2\cdot 7}=33\text{ м/с}\]
Камень бросили со скоростью 33 м/c.
Ответ: 33
