Динамика (страница 2)

Запишем закон сохранения энергии \[mgH=\dfrac{mv^2}{2}+mgh\] где \(v\) – скорость бруска на высоте \(h\).
Сделаем рисунок, с расставлением всех сил, действующих на брусок на высоте \(h\).

По рисунку найдем \(\cos \alpha\), он равен \[\cos \alpha =\dfrac{h-R}{R}\quad (1)\] Запишем второй закон Ньютона \[mg\cos \alpha +N=ma \Rightarrow mg\dfrac{h-R}{R}+N=m\dfrac{v^2}{R}\] где \(a\) – центростремительное ускорение.
По третьему закону Ньютона \(N=F\), значит, скорость кубика на высоте \(h\) равна \[v^2=g(h-R)+\dfrac{FR}{m}\] Подставив значение скорости в закон сохранения энергии, и выразив начальную высоту получим \[H=\dfrac{3h-R}{2}+\dfrac{FR}{2mg}=\dfrac{3\cdot 2 \text{ м}-1,5\text{ м}}{2}+\dfrac{4\text{ Н}\cdot 1,5\text{ м}}{2\cdot 1,5\text{ кг} \cdot 10\text{ Н/кг}}=2,45\text{ м}\]

Ответ: 2,45

Введем оси, как показано на рисунке Запишем второй закон Ньютона на введенные оси для каждого из тел \[\begin{cases} O_1x_1 & T_1 -Mg \sin \alpha -F_\text{ тр}=0 \quad (1)\\ O_1y_1 & N-Mg\cos \alpha =0 \quad (2)\\ O_2y_2 & mg -T_2 =0\quad (3)\\ \end{cases}\] Так как нить невесомая и нерастяжимая, то \(T_1=T_2\), кроме того тело покоится, а значит \(F_\text{ тр}\leq \mu N\)
Тогда сложив (1) с (3) получим \[mg-Mg\sin \alpha -F_\text{ тр}=0 \Rightarrow F_\text{ тр}= mg-Mg\sin \alpha\] Из (2) \[N=Mg\cos \alpha\] Так как \(F_\text{ тр} \leq \mu N\), то \[mg-Mg \sin \alpha \leq \mu M g \cos \alpha\] Выразим массу груза. \[m \leq M(\sin \alpha + \mu \cos \alpha )\leq 1\text{ кг}\left(0,5 +0,2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\leq 0,67\text{ кг}\]

Ответ: 0,67

Период обращения находится по формуле: \[T=\dfrac{2 \pi R}{v},\] где \(R\) – радиус планеты, \(v\) – скорость спутника.
Найдем отношение периода обращения вокруг планеты Плюк к периоду обращения вокруг Земли. \[\dfrac{T_\text{п}}{T_\text{з}}=\dfrac{\dfrac{2\pi R_\text{ п}}{v_\text{ п}}}{\dfrac{2 \pi R_\text{ з}}{v_\text{ з}}}=\dfrac{R_\text{ п}}{2R_\text{ з} } \quad (1)\] где \(R_\text{ п}\) и \(R_\text{ з}\) – радиусы Плюка и Земли
Первая космическая скорость находится по формуле: \[v_1=\sqrt{gR}\] где \(g=G\dfrac{mM}{R^2},\)
где \(m\) и \(M\) – масса спутника и планеты
Масса же находится по формуле: \[M=\rho V,\] \(\rho\) – средняя плотность планеты.
С учетом того, \(V \sim R^3\) имеем \[\dfrac{v_\text{1п}}{v_\text{1з}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{Gm\rho R^3_\text{п}}{R^2_\text{п}}}{\dfrac{Gm \rho R^3_\text{з}}{R^2_\text{з}}}\cdot \dfrac{R_\text{п}}{R_\text{з}}}=2 \Rightarrow \dfrac{R^2_\text{п}}{R^2_\text{з}}=4 \Rightarrow \dfrac{R_\text{п}}{R_\text{з}}=2 \quad (2)\] Подставим (2) в (1) \[\dfrac{T_\text{п}}{T_\text{з}}=\dfrac{2}{2}=1\]

Ответ: 1

Так как пружина растянута на максимальную длину, то сила упругости должна направляться в центр диска, а сила трения её уравновешивать и направляться от центра. В нашем случае сила трения составит: \(F_\text{ тр}=\mu N\) Запишем второй закон Ньютона на оси \[\begin{cases} N=mg \quad (1)\\ k\Delta x- F_\text{ тр}=ma \quad (2) \\ \end{cases}\] В данном случае ускорение груза можно найти по формуле: \[a=\dfrac{v^2}{R}=\omega^2 R=4\pi^2\nu^2 R \quad (3)\] где \(R\) – радиус обращения.
Подставляем (1) и (3) в (2) и получаем \[k \Delta x - \mu mg=4m\pi^2\nu^2 R\] Удлинение пружины можно рассчитать по формуле: \[\Delta x = R-L\] Подставив в последнюю формулу получим: \[k (R-L) - \mu mg=4m\pi^2\nu^2 R\] Откуда радиус обращения \[R=\dfrac{\mu mg + kL}{k-4\pi^2\nu^2m}=\dfrac{0,25\cdot 0,2\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}+100\text{ Н/м}\cdot 0,2\text{ м}}{100\text{ Н/м}-4\cdot 3,14\cdot 1,5\text{ Гц$^2$}\cdot 0,2\text{ кг}}\approx 0,25\text{ м}\]

Ответ: 0,25

Сделаем рисунок Запишем второй закон Ньютона на оси \(Ox\) и \(Oy\) \[\begin{cases} Ox & N\sin\alpha + \mu N \cos \alpha =m\dfrac{v^2}{R} \quad (1)\\ Oy & N\cos \alpha -mg- \mu N \sin \alpha =0 \quad (2)\\ \end{cases}\] где \(v\) – скорость автомобиля. Из (2) выразим силу реакции опоры, а из (1) скорость автомобиля. \[N=\dfrac{mg}{\cos \alpha - \mu \sin \alpha } \quad (3)\] \[v=\sqrt{ \dfrac{RN( \sin \alpha +\mu \cos \alpha )}{m}} \quad (4)\] Подставим (3) в (4) \[v=\sqrt{\dfrac{mgR(\dfrac{\sin \alpha + \mu \cos \alpha }{\cos \alpha - \mu \sin \alpha})}{m}}=\sqrt{gR\dfrac{\sin \alpha + \mu \cos \alpha }{\cos \alpha - \mu \sin \alpha}}=\sqrt{gR\dfrac{tg \alpha +\mu}{1-\mu tg \alpha }}=\sqrt{10\text{ м/с$^2$}\cdot50\text{ м}\dfrac{1+0,5}{1-0,5\cdot 1}}\approx 39\text{ м/с}\]

Ответ: 39

Направим ось \(Oy\) вдоль наклонной плоскости вверх, ось \(Ox\) вдоль наклонной плоскости вправо, а ось \(Oz\) перпендикулярно наклонной плоскости.

Запишем второй закон Ньютона на все три оси: \[\begin{cases} Ox: & F- F_\text{ трх}=0 \\ Oy: & F_\text{ тру}-mg \sin \alpha=0\\ Oz: & N-mg\cos \alpha =0\\ \end{cases}\] С учетом того, что сила трения равна \[F_\text{ тр}=\mu N\] или \(F_\text{ тр}=\sqrt{F_\text{ трх}^2+F_\text{ тру}^2}\) и выражениями из системы \[\begin{cases} F=F_\text{ трх} \\ F_\text{ тру}=mg \sin \alpha\\ N=mg\cos \alpha \\ \end{cases}\] Имеем \[F=mg\sqrt{\mu^2\cos \alpha ^2-\sin \alpha ^2}=1\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}\sqrt{0,64\cdot 0,75-0,25}=4,8\text{ Н}\]

Ответ: 4,8

Запишем второй закон Ньютона \[mg+N=ma\] где \(m\) – масса человека, \(N\) – давление человека на сидение, \(a\) – центростремительное ускорение.
Центростремительное ускорение равно \[a=\dfrac{v^2}{R}\] \(v\) - скорость движения, \(R\) – радиус траектории \[mg+N=m\dfrac{v^2}{R}\] Отсюда скорость равна \[v=\sqrt{R(g+\dfrac{N}{m})}=\sqrt{20\text{ м}\left(10\text{ Н/кг}+\dfrac{700\text{ Н}}{70\text{ кг}}\right)}=20\text{ м/с}\]

Ответ: 20