Динамика (страница 3)

В горизонтальном направлении на тележку будут действовать сила натяжения нити и сила трения, а в вертикальном сила реакции опоры и сила тяжести, но в вертикальном направлении силы будут уравновешивать друг друга, поэтому мы их учитывать не будем. Запишем второй закон Ньютона я на горизонтальную (\(x\)) и вертикальную(\(y\)) оси.
Горизонтальная ось
\[\begin{cases} 1: & T_1+F_\text{ тр}=Ma\\ 2: & T_2-F_\text{ тр}=0\\ \end{cases}\] Вертикальная ось
\[\begin{cases} 1: & mg-T_1=ma \\ 2: & mg-T_2=0\\ \end{cases}\] Сила натяжения нити одинакова, поскольку нить невесома.
Сложим четыре уравнения
\[2mg=Ma+ma\] Отсюда масса груза \[m=\dfrac{Ma}{2g-a}=\dfrac{1,8\text{ кг}\cdot 2\text{ м/с$^2$}}{2\cdot 10\text{ м/с$^2$}-2\text{ м/с$^2$}}=0,2\]

Ответ: 0,2

Запишем второй закон Ньютона для первого и второго случая на горизонтальную (\(x\)) и вертикальную(\(y\)) оси.
Первый случай: \[\begin{cases} x: & -Ma=-F_\text{ тр}\\ y: & Mg-N=0 \quad (1)\\ \end{cases}\] Так как сила трения равна \(F_\text{ тр}= \mu N\), то \[Ma=\mu N \quad (2)\] Второй случай:
Теперь добавляются силы, действующие на груз и сила натяжения нити. \[\begin{cases} x: & T_1-F_\text{ тр}=0 \\ y: & N-Mg-mg+T_2=0 \\ \end{cases}\] Так как нить нерастяжима, то \(T_1=T_2\)
Вычтем из второго уравнения первое \[N-Mg-mg+F_\text{ тр}=0 \quad (3)\] Подставим (1), (2) в (3) и получим \[Mg-Mg-mg+\mu Mg=0\] Отсюда масса груза равна \[m=\dfrac{\mu M g}{g}=\mu M=0,2\cdot 1\text{ кг}=0,2 \text{ кг}\]

Ответ: 0,2

Так как разгон считается равноускоренным, то \[v=v_0+at,\] где \(v\) – конечная скорость, \(V_0\) – начальная скорость, \(a\) – ускорение автомобиля, \(t\) – время движения. С учетом того, что начальная скорость равна 0 ускорение будет равно \[a=\dfrac{v}{t}\] Рассмотрим динамику процесса. На вертикальную ось будет действовать сила тяжести, а на горизонтальную ось будет действовать сила “разгона”. Значит, их отношение будет создавать угол наклона, а значит \[tg \alpha =\dfrac{mg}{ma}\] \(\alpha\) – угол наклона силы реакции кресла. \[\alpha = arctg \dfrac{mg}{m\dfrac{v}{t}}=arctg \dfrac{gt}{v}=arctg \dfrac{10\text{ м/с$^2$}\cdot 2,7\text{ с}\cdot 3600}{100\text{ м}\cdot 1000}\approx arctg 1 \approx 45^\circ\]

Ответ: 45

Так как масса одного из грузов будет больше, то система будет двигаться с ускорением в сторону большего груза, обозначим это ускорение за \(a\). Кроме того трения нет, а значит сила натяжения нити в обе стороны грузов будет одинакова. Запишем второй закон Ньютона для груза массой \(M\) и груза массой \(M+0,1M\) на ось Ох \[\begin{cases} M: & -Ma=Mg-T \quad (1)\\ M+m: & a(M+m)=(M+m)g-T\\ \end{cases}\] Вычтем из первого уравнения второе и получим \[-Ma-Ma-ma=Mg-Mg-mg\] Выразим ускорение \[a=\dfrac{mg}{m+2M}\quad (2)\] Так как на блок действуют силы натяжения нити, то именно они и будут создавать силу, действующую на блок, а именно эта сила равна \[F=2T\] Чтобы найти эту силу подставим (2) в (1) \[-\dfrac{Mmg}{m+2M}=Mg-T \Rightarrow T =\dfrac{mMg+ Mg(m+2M)}{m+2M}\] Домножим на 2 и раскроем скобки \[F=2T=2\dfrac{mMg+mMg+2M^2g}{m+2M}=2Mg\dfrac{2m+2M}{m+2M}=2\cdot1\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}\dfrac{2\cdot 0,1\text{ кг}+2\cdot 1\text{ кг}}{0,1\text{ кг}+2\cdot 1\text{ кг}}=21\text{ Н}\]

Ответ: 10

Введем оси, как показано на рисунке

Запишем второй закон Ньютона на введенные оси для каждого из тел \[\begin{cases} O_1x_1 & T_1 -Mg \sin \alpha -F_\text{ тр}=0 \quad (1)\\ O_1y_1 & N-Mg\cos \alpha =0 \quad (2)\\ O_2y_2 & mg -T_2 =0\quad (3)\\ \end{cases}\] Так как нить невесомая и нерастяжимая, то \(T_1=T_2\), кроме того тело покоится, а значит \(F_\text{ тр}\leq \mu N\)
Тогда сложив (1) с (3) получим \[mg-Mg\sin \alpha -F_\text{ тр}=0 \Rightarrow F_\text{ тр}= mg-Mg\sin \alpha\] Из (2) \[N=Mg\cos \alpha\] Так как \(F_\text{ тр} \leq \mu N\), то \[mg-Mg \sin \alpha \leq \mu M g \cos \alpha\] Выразим массу груза. \[m \leq M(\sin \alpha + \mu \cos \alpha )\leq 1\text{ кг}\left(0,5 +0,2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\leq 0,67\text{ кг}\]

Ответ: 0,67

Пусть \(\rho\) – плотность жидкости, \(H\) – первоначальный уровень воды, тогда после перерезания нити уровень уменшиться на \(h\). Значит гидростатическое давление до перерезания нити \[P_1=\rho g H\] но так как есть еще сила натяжения нити, которая удерживает шар в воде, но не действует на дно, то сила давления на дно равна \[F_1=\rho \cdot g \cdot H \cdot S -T\] Во втором случае нить обрывается, и шар всплывает и уровень уменьшается на \(h\), тогда сила давления на дно будет равна \[F_2=\rho \cdot g \cdot (H-h)\cdot S\] Поскольку масса щара и воды остается неизменным, то и сила давления на дно при равновесных состояниях остается неизменной, а значит мы можем приравнять \(F_1\) и \(F_2\) \[\rho \cdot g \cdot H \cdot S -T=\rho \cdot g\cdot H \cdot S -\rho \cdot g\cdot h \cdot S\] Выразим силу натяжения нити \[T=\rho \cdot g\cdot h \cdot S=1000 \text{ кг/м$^3$}\cdot 10\text{ Н/кг} \cdot 0,05\text{ м}\cdot 0,01\text{ м$^2$}=5\text{ Н}\]

Ответ: 5