Два небольших шара массами \(m_1 = 0,2\) кг и \(m_2 = 0,3\) кг закреплены на концах невесомого стержня \(AB\), расположенного горизонтально на опорах \(C \)и \(D\) (см. рисунок). Расстояние между опорами \(l = 0,6\) м, а расстояние \(AC\) равно 0,2 м. Чему равна длина стержня \(L\), если сила давления стержня на опору \(D\) в 2 раза больше, чем на опору \(C\)? Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на систему тел «стержень — шары».
Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ – 2020 по физике.
На твердое тело, образованное двумя шарами и стержнем действует силы тяжести первого и второго шаров \(m_1 g\)и \(m_2g\), а также силы реакции опоры \(N_1\) и \(N_2\). По условию \(2N_1=N_2\) Запишем второй закон Ньютона и правило моментов относительно точки А. \[\begin{cases}
N_1 +N_2 -m_1g -m_2 g=0\\
N_1 x +N_2 (l+x)-m_2 g L=0\\
\end{cases}\] где \(x\) – AC и плечо силы \(N_1\). Так как \(N_2=2N_1\), то систему уравнений можно переписать в виде \[\begin{cases}
3N_1 =g(m_1 +m_2)\\
N_1 x +2N_1 (l+x)=m_2 g L\\
\end{cases}\] Поделим второе уравнение на первое \[x+\dfrac{2l}{3}=L\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\] Отсюда длина стержня \[L=\dfrac{m_2+m_1}{m_2}\left(x+\dfrac{2l}{3}\right)=\dfrac{0,3\text{ кг}+0,2\text{ кг}}{0,3\text{ кг}}\left(0,2\text{ м}+ \dfrac{2\cdot 0,6 \text{ м}}{3}\right)=1\text{ м}\]
Ответ: 1