Геометрическая оптика (страница 2)

Построим ход лучей:

Закон преломления:

\[\sin \alpha=n \sin \beta\] \(n=4 / 3\) (по условию), тогда: \[tg=\frac{\sin \beta}{\cos \beta}=\frac{\sin \beta}{\sqrt{1-\sin ^{2} \beta}}=\frac{\frac{\sin \alpha}{n}}{\sqrt{1-\frac{\sin ^{2} \alpha}{n^{2}}}}=\frac{\sin \alpha}{\sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \alpha}}=\frac{1 / 2}{\sqrt{(4 / 3)^{2}-(1 / 2)^{2}}}=\frac{1 / 2}{\sqrt{55 / 36}}=\frac{3}{\sqrt{55}}\] Пусть \(x\) – длина надводной части палки. Палка погружена наполовину, следовательно, длина подводной части – \(x .\) Тогда \[\begin{array}{c} l=|A B|=|C D|=|P K|+|K M| tg \alpha=|P N| tg \alpha+x tg \beta=x tg \alpha+x tg \beta \\ x=\frac{l}{tg \alpha+tg \beta}=\frac{0,5}{\frac{3}{\sqrt{55}}+\frac{1}{\sqrt{3}}} \approx 0,51 \text{ м} \end{array}\]

Ответ: 0,5

Формула тонкой линзы для собирающей линзы: \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\] где \(F\) – фокусное расстояние,
\(d\) – расстояние от предмета до линзы
\(f\) – растояние от изображения до линзы \[f=\frac{Fd}{F-d}\] \[\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{F-d}=\frac{8}{2}=4\]
\(v\) – скорость предмета относительно линзы
\(u\) – скорость изображения источника \[u=v\Gamma=12 \text{ мм/с}\]

Ответ: 12

1. Построение изображения \(A'B'\) предмета \(AB\) в линзе показано на рисунке.

2. Так как точка \(A\) находится на расстоянии \(2F\) от линзы, то её изображение \(A'\) также находится на расстоянии \(2F\) от линзы, и расстояние от точки \(A'\) до главной оптической оси равно \(h\).
3. Длина изображения \(A'B'\) \[L=\sqrt{(OC-2F)^2+(B'C-h)^2}\] 4. Из формулы тонкой линзы \[\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{2F-l}+\dfrac{1}{OC}\] следует \[OC=\dfrac{F(2F-l)}{F-l}=60\text{ см}\] 5. \(\dfrac{B'C}{h}=\dfrac{OC}{2F-l}\), откуда \(B'C= h\dfrac{OC}{2F-l}=30\text{ см}\) 6. Окончательные вычисления \[L=\sqrt{400+225}=25\text{ см}\]

Ответ: 25

Формула тонкой линзы для собирающей линзы: \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\] где \(F\) – фокусное расстояние,
\(d\) – расстояние от предмета до линзы
\(f\) – растояние от изображения до линзы \[f=\frac{Fd}{d-F}\] \[\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{d-F}=\frac{8}{2}=4\] Возьмем производную по времени \[f'=\frac{Fd'(d-F)-d'dF}{(d-F)^2}\] Заметим, что \(v=d'\) – скорость предмета, \(u=f'\) – скорость изображения. \[u=\frac{Fv(d-F)-vdF}{(d-F)^2}=\frac{-F^2v}{(d-F)^2}=-v\Gamma^2=-2\cdot4^2=-32 \text{ мм/с}\] Знак минус, потому что изображение движется в противоположную сторону.

Ответ: 32

Запишем формулу тонкой линзы для ближайшей точки к линзе колебаний маятника и самой дальней точки. \[D=\dfrac{1}{F+L-A}+\dfrac{1}{f_1}\] \[D=\dfrac{1}{F+L+A}+\dfrac{1}{f_2}\] где \(f_1\) и \(f_2\) – расстояние от линзы до изображений.
а по условию задачи \(f_1-f_2=\Delta\). Из первых двух уравнений выразим \(f_1\) и \(f_2\) и подставим в третье \[\dfrac{1}{f_1}=D-\dfrac{1}{F+L-A} \Rightarrow f_1= \dfrac{F+L-A}{D(F+L-A)-1}\] \[f_2=\dfrac{F+L+A}{D(F+L+A)-1}\] \[\Delta =\dfrac{F+L-A}{D(F+L-A)-1}-\dfrac{F+L+A}{D(F+L+A)-1}=\dfrac{(D(F+L+A)-1)(F+L-A)}{D(F+L-A)-1} -\dfrac{(D(F+L-A)-1)(F+L+A)}{D(F+L+A)-1}\] \[\Delta = \dfrac{2A}{(D(F+L+A)-1)(D(F+L-A)-1)}=\dfrac{2AF^2}{(L-A)(L+A)}=\dfrac{2AF^2}{L^2-A^2}\] Составляем квадратное уравнение \[\Delta A^2 +2AF^2+\Delta L^2=0\] Находим дискриминант \[D=4F^4-4\Delta^2L^2\] отрицательные корни нам не подходят, следовательно, корень данного уравнения \[A=\dfrac{-2F^2+2\sqrt{F^4-\Delta ^2 L^2}}{2\Delta }=\dfrac{20^2\text{ см$^2$}+\sqrt{20^4\text{ см$^4$}+2^2\text{ см$^2$}\cdot 5\text{ см$^2$}}}{2\text{ см}}\approx 0,0125\text{ см}\]

Ответ: 0,0125

1. Поскольку луч падает на грань AC перпендикулярно, он на ней не преломляется, а, падая на грань BC, согласно закону отражения света отражается под тем же углом Следовательно \[\beta =90-\alpha\] 2. Запишем закон преломления для второго случая. \[n \sin \beta = \sin \gamma \Leftrightarrow n \sin (90-\alpha )=\sin \gamma\] Откуда показатель преломления \[n=\dfrac{\sin \gamma}{\sin \alpha}=\dfrac{\sin 45^\circ}{\cos 60^\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2\cdot 0,5}=\sqrt{2}\approx 1,4\]

Ответ: 1,4

Закон преломления \[\sin\alpha=n\sin\beta\] где \(n\) – показатель преломления воды, , \(\alpha \) – угол падения, \(\beta\) – угол преломления.
Из прямоугольных треугольников: \[BC=2Ltg\beta=2L\sin\beta\] \[AB=htg\alpha=h\sin\alpha\] \[H+L=\frac{AC}{tg\alpha}=\frac{2L\sin\beta+h\sin\alpha}{\sin\alpha}=\frac{2L+hn}{n}=\frac{2\cdot16\text{ см}+20\text{ см}\cdot4/3}{4/3}=44 \text{ см}\] \[H=28 \text{ см}\]

Ответ: 28