Кинематика (страница 3)

1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Для начала нам нужно найти время \(t_\text{подъема}\), за которое тело поднимется на максимальную высоту: \[\upsilon_y=\upsilon_{0y}+a_yt_\text{подъема}.\] Начальная скорость \(\upsilon_{0y}\) нам неизвестна, её мы можем расчитать по следующей формуле: \[y=y_0 + \upsilon_{0y}t + \dfrac{a_yt^2}{2}\] \[\upsilon_{0y}=\dfrac{y - \dfrac{a_yt^2}{2}}{t},\] где \(t\) любой выбранный критерий из таблицы, также мы знаем, что \(a_y=-g\). Теперь \(t_\text{подъема}\) можем рассчитать так (на высоте \(h_{max}\) \(\upsilon_y=0 \text{ м/с}\)): \[t_\text{подъема}=\dfrac{\upsilon_y - \dfrac{y - \dfrac{a_yt^2}{2}}{t}}{a}=\dfrac{0 \text{ м/с} - \dfrac{0,75 \text{ м} - \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,1^2 \text{ с}^2}{2}}{0,1 \text{ с}}}{-10 \text{ м/с}^2}=0,8 \text{ с}\] Высоту \(h_{max}\) мы можем найти следующим способом: \[h_{max}=y_0 + \upsilon_{0y}t_\text{подъема} + \dfrac{a_yt_\text{подъема}^2}{2}=\dfrac{y-\dfrac{a_yt^2}{2}}{t}t_\text{подъема} + \dfrac{a_yt_\text{подъема}^2}{2}\] \[h_{max}=\dfrac{0,75 \text{ м} - \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,1^2 \text{ с}^2}{2}}{0,1 \text{ с}}0,8 \text{ с} + \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,8^2 \text{ с}^2}{2}=3,2 \text{ м}.\]
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Дальность полёта мы можем высчитать по формуле: \[L_{max}=x_0 + \upsilon_{0x}t_{\text{полета}} + \dfrac{a_xt_{\text{полета}}^2}{2}\] Время подъема симметрично времени падения, тогда: \[t_{\text{полета}}=2t_\text{подъема}\] Начальная скорость \(\upsilon_{0x}\) нам неизвестна, её мы можем расчитать по следующей формуле: \[x=x_0 + \upsilon_{0x}t + \dfrac{a_xt^2}{2}=\upsilon_{0x}t\] \[\upsilon_{0x}=\dfrac{x}{t}\] \(x_0=0 \text{ м}\), так как действие идёт из начала системы отсчёта, также мы знаем, что по оси \(Ox\) ускорение зануляется. Подставляем неизестные величины в начальную формулу: \[L_{max}=\dfrac{x}{t}\cdot 2t_\text{подъема}=\dfrac{0,6 \text{ м}}{0,1 \text{ с}}\cdot 2 \cdot 0,8 \text{ с}= 9,6 \text{ м}.\]
3) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Смотреть пункт 2.
4) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Скорость тела вычисляется как результирующая проекции скоростей в определенный момент времени: \[\upsilon=\sqrt{ \upsilon_x^2 + \upsilon_y^2}\] Проекции скоростей вычисляются по формулам: \[\upsilon_y=\upsilon_{0y}+a_yt_1\] \[\upsilon_x=\upsilon_{0x}+a_xt_1\] Мы знаем, что по оси \(Ox\) ускорение зануляется, тогда формула принимает следующий вид: \[\upsilon_x=\upsilon_{0x}\] \[\upsilon_x=\upsilon_{0x}\] Подставим все неизвестные значения в начальную формулу: \[\upsilon=\sqrt{ \left( \dfrac{x}{t}\right) ^2 + \left( \dfrac{y - \dfrac{a_yt^2}{2}}{t}+a_yt_1\right) ^2}\] \[\upsilon=\sqrt{ \left( \dfrac{0,6 \text{ м}}{0,1 \text{ с}}\right) ^2 + \left( \dfrac{0,75 \text{ м} - \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,1^2 \text{ с}^2}{2}}{0,1 \text{ с}}+(-10 \text{ м/с}^2) \cdot 1,2 \text{ с}\right) ^2}=9,1 \text{ м/с}.\]
5) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Так как \(t_\text{подъема}\) больше заданного времени, значит в промежуток времени \(t_2\) тело ещё поднималось, образуя положительную проекцию на ось \(Oy\).

Ответ: 35

1) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Начальная скорость тела вычисляется как результирующая скорость \(\upsilon_{0y}\) и \(\upsilon_{0x}\): \[\upsilon=\sqrt{ \upsilon_{0x}^2 + \upsilon_{0y}^2}\] Скорости \(\upsilon_{0x}\) и \(\upsilon_{0y}\) можем найти из следующих формул (заранее заметим, что по оси \(Ox\) ускорение зануляется): \[x=x_0 + \upsilon_{0x}t + \dfrac{a_xt^2}{2}=\upsilon_{0x}t\] \[y=y_0 + \upsilon_{0y}t + \dfrac{a_yt^2}{2}=\upsilon_{0y}t + \dfrac{a_yt^2}{2}\] \[\upsilon_{0x}=\dfrac{x}{t}= \dfrac{0,3 \text{ м}}{0,1 \text{ с}}=3 \text{ м/с}\] \[\upsilon_{0y}=\dfrac{y - \dfrac{a_yt^2}{2}}{t}=\dfrac{0,35 \text{ м} - \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,1^2\text{ с}^2}{2}}{0,1 \text{ с}}=4 \text{ м/с}\] Подставим неизвестные величины в начальную формулу: \[\upsilon=\sqrt{ \left( \dfrac{x}{t}\right) ^2 + \left( \dfrac{y - \dfrac{a_yt^2}{2}}{t}\right) ^2}\] \[\upsilon=\sqrt{ \left( \dfrac{0,3 \text{ м}}{0,1 \text{ с}^2}\right) ^2 + \left( \dfrac{0,35 \text{ м} - \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,1^2\text{ с}^2}{2}}{0,1 \text{ с}}\right) ^2}= 5 \text{ м/с}.\]
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Вычислим тангенс угла броска: \[\tg_\alpha=\frac{\upsilon_y}{\upsilon_x}=\frac{0{,}4}{0{,}3}=1,33\] Тангенс угла броска больше 1, тогда угол больше 45\(^\circ\).
3) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Для начала найдём время подъема, воспользовавшись формулой (\(\upsilon_y\) в максимальной точке подъема равно \(0 \text{ м/с}\)): \[\upsilon_y=\upsilon_{0y}+a_yt_\text{подъема}.\] Подставляем неизвестные величины в первую формулу: \[\upsilon_y=\upsilon_{0y}+a_yt_\text{подъема}\] \[t_\text{подъема}=\frac{\upsilon_y - \upsilon_{0y}}{a_y}.\] Время подъема симметрично времени падения, тогда (\(a_y=-g\)): \[t_{\text{полета}}=2t_\text{подъема}= 2\cdot \frac{0 \text{ м/с} - 4 \text{ м/с}}{-10 \text{ м/с}^2}= 0,8 \text{ с}.\]
4) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Для вычисления скорости в определенный момент времени используем формулу: \[\upsilon_y=\upsilon_{0y}+a_yt=4 \text{ м/с} + (-10 \text{ м/с}^2) \cdot 0,3 \text{ с}= 1 \text{ м/с}^2.\]
5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Скорость тела вычисляется как результирующая проекции скоростей в определенный момент времени: \[\upsilon=\sqrt{ \upsilon_x^2 + \upsilon_y^2}\] Проекции скоростей вычисляются по формулам: \[\upsilon_y=\upsilon_{0y}+a_yt\] \[\upsilon_x=\upsilon_{0x}+a_xt=\upsilon_{0x}\] Подставим все неизвестные значения в начальную формулу: \[\upsilon=\sqrt{ \upsilon_{0x}^2 + (\upsilon_{0y}+a_yt)^2}=\sqrt{3^2 (\text{ м/с})^2 + (4 \text{ м/с} + (-10 \text{ м/с}^2) \cdot 0,5 \text{ с})^2}=3,2 \text{ м/с}.\]

Ответ: 14

1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Координата тела \(A\) в течение первых 5 секунд постоянно уменьшается, а тела \(B\) после 4 секунды — увеличивается.
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Так как график движения тела \(A\) — прямая линия, то тело перемещается равномерно, значит, скорость найдем по формуле: \[\upsilon=\dfrac{x-x_0}{\Delta t}=\dfrac{0 \text{ м}-20 \text{ м}}{4 \text{ с}}=-5 \text{ м/с}\]
3) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
В момент времени 5 с тело меняет направление движения (до 5 с двигалось в направлении оси, после в обратную сторону), а значит в этот момент времени его скорость \(\upsilon=0 \text{ м/с}\).
4) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
По оси \(Ox\) видно, что тело \(A\) за 4 секунды проходит 20 метров.
5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
По оси \(Ox\) видно, что тело \(A\) за 4 секунды проходит 20 метров.

Ответ: 34

1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Максимальная высота полета равна максимальной координате y, которая равна 1,6 м.

2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Полная механическая энергия тела не изменяется, так как нет никаких сил сопротивления.

3) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
По данным таблицы видно, что по оси \(Ox\) тело движется равномерно, за 1 с тело проходит по оси \(Ox\) 2 м, следовательно \(v_{x}=2\) м/с. В верхней точке траектории \(v_{y}=0\) м/с. По закону сохранения энергии \[E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}\] 1 – в вершине траектории, 2 – в момент броска. \[\frac{mv^{2}_{x}}{2}+mgh=\frac{mv^{2}}{2}\Rightarrow v^{2}=2gh+v^{2}_{x}\Rightarrow v^{2}=2\cdot10\cdot1,6+2^{2}=36\Rightarrow v=6 \text{ м/с }\]

4) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
По данным таблицы видно, что по оси \(Ox\) тело движется равномерно, за 1 с тело проходит по оси \(Ox\) 2 м, следовательно \(v_{x}=2\) м/с. В верхней точке траектории \(v_{y}=0\) м/с. То есть в верхней точке траектории скорость тела равна скорости тела по оси \(Ox\), равна 2 м/с.

5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
По данным таблицы видно, что по оси \(Ox\) тело движется равномерно, а по оси \(Oy\) с постоянным ускорением \(g\).

Ответ: 34

1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
График В – прямая, следовательно тело В движется равномерно, без ускорения.

2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
График А – парабола, следовательно тело А движется равноускоренно, ускорение не меняется.

3) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
График В – прямая, следовательно скорость одинакова на всем пути, можно заметить, что за 2 с тело В прошло 5 м против оси \(Ox\), т. е. за 1 с – 2,5 м, следовательно скорость тела В равна -2,5 м/с.

4) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Не путаем перемещение и путь! Тело А переместилось на 10 м (20 м - 10 м = 10 м) и прошло 30 м (10 м + 20 м).

5) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Скорость – это производная пути. График А имеет максимальные по модулю производные в моменты времени \(t=0;7\text{ с}\).

Ответ: 35

1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
График – парабола, значит тело движется равноускоренно.

2) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Нетрудно заметить, что \(x=t^{2}\), а кинематическое уравнение выглядит так: \[x(t)=\frac{at^{2}}{2}\] Следовательно только при \(a=2\text{ м/с}^{2}\) выполняется равенство \(x=t^{2}\), значит \(a=2\text{ м/с}^{2}\).

Скорость находится по формуле: \[v(t)=at\Rightarrow v(2)=2\cdot2=4\text{ м/с}\]

3) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Кинетическая энергия находится по формуле: \[E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}\] \[E_{k2}=\frac{mv^{2}_{2}}{2}\] \[E_{k3}=\frac{mv_{3}^{2}}{2}\]

\(E_{k2}\) – кинетическая энергия тела в момент времени 2 с, \(E_{k3}\) – кинетическая энергия тела в момент времени 3 с, \(v_{2}=4\text{ м/с}\) (из решения 2 утверждения), \(v_{3}=6\text{ м/с}\) (нашли также как \(v_{2}\)), тогда \[\frac{E_{k3}}{E_{k2}}=\frac{v_{3}^{2}}{v^{2}_{2}}=\frac{36}{16}=2,25\]

4) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Работа в данном случае вычисляется по формуле: \[A=FS\] где \(F\) – равнодействующая всех сил, действующих на тело, \(S\) – путь, пройденный телом за 2 с. \[F=ma\Rightarrow A=maS=1,5\cdot2\cdot4=12\text{ Дж}\]

5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Равнодействующая всех сил, действующих на тело, вычисляется по формуле: \[F=ma\]

То есть равнодействующая всех сил, действующих на тело, прямо пропорциональна ускорению, следовательно так как ускорение не изменяется, то не изменяется и равнодействующая всех сил, действующих на тело.

Ответ: 24

1) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
По графику видно, что в данный интервал времени скорость больше 0 и не изменяется, занчит тело движется равномерно.

2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
В момент времени \(t_{2}\) скорость меняет знак, значит тело начинает двигаться в обратном направлении.

3) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
По графику видно, что в данный интервал скорость не равна 0, значит тело движется.

4) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
График в данном интервале является прямой, не параллельной оси \(Ot\). Значит тело имеет постоянное ускорение.

5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
По графику видно, что в данном интервале скорость постоянна, а кинетическая энергия прямо пропорциональна скорости, следовательно кинетическая энергия не изменяется.

Ответ: 14