Четыре байкера движутся по прямому шоссе с одинаковыми скоростями $\upsilon$, 1 и 2 – на концерт (в одном направлении (вдоль оси $Ox$)), а 3 и 4 – им навстречу с концерта. Определите проекции их относительных скоростей на ось $Ox$.
\[\begin{array}{cc} \text{А) 2 относительно 1 }& \text{ 1) $\upsilon$ }\\ \text{Б) 1 относительно 3 }& \text{ 2) $2\upsilon$ }\\ & \text{ 3)$-\upsilon$ }\\ & \text{ 4)$-2\upsilon$ }\\ &\text{ 5) 0}\\ \end{array}\]

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ A }&\text{ Б }\\ \hline &\\ \hline \end{array}\]

Показать решение

Проекция на ось $Ox$ скорости любого байкера из первой пары относительно любого из второй пары: \[\upsilon_{\text{отн1}}' = \upsilon - ( -\upsilon) = 2\upsilon\]

И наоборот, проекция относительной скорости любого байкера из второй пары в системе отсчёта первой: \[\upsilon_{\text{отн2}}' = -\upsilon -\upsilon = -2\upsilon\]

Внутри каждой из пары байкеры покоятся друг относительно друга, т.е. для них относительная скорость равна нулю.

Ответ: 52

Задание 16 #13791

Тело первую половину пути проходит со скоростью $\upsilon_{1}$, а вторую – со скоростью $\upsilon_{2}$. Как изменится средняя скорость на всём пути, если
\[\begin{array}{cc} \text{А) увеличить весь путь в 2 раза, }& \text{ 1) увеличится в 2 раза }\\ \text{Б) увеличить каждую из скоростей в 2 раза, }& \text{ 2) увеличится в 4 раза }\\ & \text{ 3) уменьшится в 2 раза }\\ & \text{ 4) уменьшится в 4 раза } \\ &\text{ 5) не изменится}\\ \end{array}\]

Показать решение

Средняя скорость на всём пути: \[\displaystyle \upsilon_{\text{ ср}} = \frac{S_{1} + S_{2}}{t_{1 } + t_{2}}.\]
Пусть весь путь $S = 2l$, тогда $S_{1} = l$, $S_{2} = l$, $t_{1} = \dfrac{l}{\upsilon_{1}}$, $ t_{2} = \dfrac{l}{\upsilon_{2}}$.

Отсюда \[\displaystyle \upsilon_{\text{ ср}} = \dfrac{2l}{\dfrac{l}{\upsilon_{1}} + \dfrac{l}{\upsilon_{2}}} = \dfrac{2\upsilon_{1}\upsilon_{2}}{\upsilon_{1} + \upsilon_{2}}.\]

Значит средняя скорость зависит только от скоростей $\upsilon_{1}$ и $\upsilon_{2}$ на каждой из половин пути и не зависит от длины самого пути, поэтому вопросу А соответствует 5.

В других случаях, поскольку $\upsilon_{1}$ и $\upsilon_{2}$ изменяются в одинаковое число раз, средняя скорость изменяется пропорционально изменению одной из скоростей $\Rightarrow$ Б = 1

Ответ: 51

Задание 17 #13790

Тело движется вдоль оси $Ox$ из начала координат с постоянным ускорением. Направления начальной скорости и ускорения $a$ тела указаны на рисунке.

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные под соответствующими буквами. \[\begin{array}{cc} \text{ Физические величины}&\text{ Формулы}\\ \text{А) Координата x тела в момент времени t;}& \text{ 1) } \displaystyle v_0t+\frac{at^2}{2} \\ \text{Б) Скорость $v_x$ тела в момент времени t.}& \text{ 2) } \displaystyle v_0t - \frac{at^2}{2}\\ & \text{ 3) } \displaystyle v_0 - at\\ &\text{ 4) } \displaystyle v_0 +at\\ \end{array}\]

\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ A }&\text{ Б }\\ \hline &\\ \hline \end{array}\]

Показать решение

Проекция вектора ускорения $\vec{a}$ на ось $Ox$: $a_x=-a$. Проекция вектора начальной скорости $\vec{\upsilon_{0}}$ на ось $Ox$: $v_x=v_0$. Так как тело начинает движение из начала координат, координата тела $x$ в момент времени $t$: \[x=\upsilon_{0}t - \dfrac{at^{2}}{2}\]

(А — 2)

Скорость $\upsilon_{x}$ тела в момент времени t: \[v_x=v_0 - at\]

(Б — 3)

Ответ: 23

Задание 18 #12407

Установите соответствие между зависимостью координаты материальной точки (все значения выражены в СИ) и значениями его начальной координаты и проекцией ускорения на ось $Ox$.

К каждой позиции первого столбца подберите подходящую позицию из второго столбца. В ответ укажите последовательность чисел.

\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ:} & \text{НАЧАЛЬНАЯ КООРДИНАТА, УСКОРЕНИЕ:}\\ \hline \text{А)}\ x = 2+5t -3t^2&1)\ x_0 = 0, a_x =7\text{ м/с$^2$}\\ \text{Б)}\ x = 7t &2)\ x_0 = 2\text{ м/с},a_x = -6\text{ м/с$^2$}\\ &3)\ x_0 = 2\text{ м/с},a_x =-3\text{ м/с$^2$}\\ &4)\ x_0 = 0,a_x = 0\text{ м/с$^2$}\\ \hline \end{array}\]

\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{A}&\text{Б}\\ \hline &\\ \hline \end{array}\]

Показать решение

Основное уравнение кинематики показывает зависимость координаты $x$ от времени $t$: \[x = x_0 + \upsilon_{0x}t+ \dfrac{a_xt^2}{2}\]

где $x_0$ – начальная координата, $\upsilon_{0x}$ – проекция начальной скорости на ось $Ox$, $a_x$ – проекция ускорения на ось $Ox$.

A – 2

Рассмотрим данное уравнение: \[x = 2+5t -3t^2\]

Сопоставив его с основным уравнением кинематики, можно увидеть, что $x_0 = 2\text{ м},a_x = -6\text{ м/с$^2$}$.

Б – 4

Рассмотрим данное уравнение: \[x = 7t\]

Сопоставив его с основным уравнением кинематики, можно увидеть, что $x_0 = 0\text{ м},a_x = 0\text{ м/с$^2$}$ (тело движется прямолинейно, без ускорения).

Для условий 1 и 3 уравнения будут выглядеть соответсвенно: \[x = 3,5t^2\] \[х = 2+\upsilon_0t -1,5t^2\]

Ответ: 24

Задание 19 #12406

Установите соответствие между зависимостью проекции скорости тела от времени и зависимостью проекции перемещения этого тела от времени для одного и того же движения (все величины выражены в СИ). \[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Проекция скорости}&\text{ Проекция перемещения}\\ \hline &\\ \text{А)} \upsilon_x=3-2t& \text{1)} S_x=5t+2t^2 \\ \text{Б)} \upsilon_x=5+4t &\text{2)} S_x=5t+4t^2\\ &\text{3)} S_x=3t-2t^2\\ &\text{4)} S_x=3t-t^2\\ \hline \end{array}\] Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: \[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{А}&\text{Б}\\ \hline & \\ \hline \end{array}\]

Показать решение

Скорость – это производная от координаты (перемещения) по времени. Возьмем производную от четырех формул, а дальше сделаем соответствие:
1) $\displaystyle S_x=5t+2t^2$
\[\upsilon_x=S'(x)=5+4t\] Ответ – Б
2) $\displaystyle S_x=5t+4t^2$
\[\upsilon_x=S'(x)=5+8t\] 3) $\displaystyle S_x=3t-2t^2$
\[\upsilon_x=S'(x)=3-4t\] 4) $\displaystyle S_x=3t-t^2$
\[\upsilon_x=S'(x)=3-2t\] Ответ – А

Ответ: 41

Задание 20 #12405

Автомобиль движется вдоль оси $Ox$, при этом его координата изменяется с течением времени в соответствии с формулой $x(t) = 6 - 8t^{2}$ (все величины выражены в СИ).
Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
\[\text{ГРАФИКИ}\]

\[\text{ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ}\] 1) проекция скорости автомобиля $\upsilon_{x}$
2) проекция перемещения автомобиля $S_{x}$
3) проекция ускорения автомобиля $a_{x}$
4) модуль равнодействующей $\vec{F}$ сил, действующих на автомобиль.

\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ A }&\text{ Б }\\ \hline &\\ \hline \end{array}\]

Показать решение

1) Проекцию скорости $\upsilon_{x}$ можно найти как производную от $x$: \[\upsilon_{x} = x^\prime =(6 - 8t^{2})^\prime = -16t.\]
график будет выглядеть, как прямая идущая из нуля и постоянно убывающая $\Rightarrow$ (1) неподходит.
2) Проекция перемещения — это конечная координата минус начальная
\[S_{x} = x - x_{0};\: x_{0} = 6\: \Rightarrow\: S_{x} = -8t^{2}.\] график — одна из ветвей параболы, идущей из начала координат и направленных вниз $\Rightarrow$ Б — 2.
3) Проекция ускорения — производная по времени от проекции скорости: \[a_{x} = \upsilon_{x}^\prime = (-16t)^\prime = -16.\] график будет выглядеть, как прямая линия параллельная оси t и идущая ниже нуля $\Rightarrow$ А — 3.
4) $F = ma = const,\: m > 0,\: a = |a_{x}| = 16\: \Rightarrow\: F > 0$ $\Rightarrow$ не подходит.

Ответ: 32

Задание 21 #12404

Бэтмобиль, двигаясь ускоренно, имел в начальной точке трассы скорость $\upsilon_{0}$, через некоторое время в конечной точке трассы скорость $\upsilon_{2}$. Укажите выражения для:
\[\begin{array}{cc} \text{А) скорости бэтмобиля на половине этого расстояния }& \text{ 1) $\dfrac{(\upsilon_{0} + \upsilon_{2})}{2}$ }\\ \text{Б) средней скорости бэтмобиля на всём пути }& \text{ 2) $\sqrt{\dfrac{(\upsilon_{0}^{2} + \upsilon_{2}^{2})}{2} }$ }\\ & \text{ 3)$\dfrac{(\upsilon_{2} - \upsilon_{0})}{2}$ }\\ & \text{ 4)$\sqrt{\dfrac{(\upsilon_{2}^{2} - \upsilon_{0}^{2})}{2} }$ }\\ \end{array}\]

Показать решение

При равноускоренном движении с начальной скоростью $\upsilon_{0}$ весь путь будет равен: \[S = \dfrac{\upsilon_{2}^{2} - \upsilon_{0}^{2}}{2a}\]

для первой половины пути: \[\dfrac{S}{2} =\dfrac{\upsilon_{1}^{2} - \upsilon_{0}^{2}}{2a}\]

где $v_{1}$ — скорость на половине пути

\[2(v_1^2-v_0^2)=v_2^2-v_0^2\]

\[\upsilon_{1} = \sqrt{\dfrac{(\upsilon_{0}^{2} + \upsilon_{2}^{2})}{2}}\]

Скорость при равноускоренном движении меняется линейно: \[v=v_0+at\]

Средняя величина при линейной зависимости определяется как среднее арифметическое начального и конечного значения. Средняя скорость на всём пути равна: \[\upsilon_{\text{ ср}} = \dfrac{(\upsilon_{0} + \upsilon_{2})}{2}\]

Ответ: 21

1 2 3 4