8. Молекулярно-кинетическая теория (страница 3)

Запишем формулу для расчета давления газа: \[p=nkT, \quad(1)\] где \(n\) — это концентрация газа, \(k\) — постоянная Больцмана, \(T\) — температура газа в Кельвинах. \[p=1,2\cdot10^{24}\text{ м$^{-3}$}\cdot1,38·10^{-23} \text{ Дж$\cdot$К$^{-1}$}\cdot600\text{ К}=9,94\text{ кПа}\]

Ответ: 9,94

Получим взаимосвязь среднеквадратичной скорости и температуры: \[E_k=\dfrac{3}{2}kT,\] где \(k\) — постоянная Больцмана. Кинетическая энергия одной молекулы/атома по определению равна: \[\hspace{5 mm}\dfrac{m_0v^2}{2}=\dfrac{3}{2}kT, \hspace{5 mm} (1)\] где \(m_o\) — масса молекулы/атома, \(v\) — средняя квадратичная скорость молекулы/атома. Количество вещества можно найти двумя способами: \[\nu = \dfrac{m_o}{\mu}\hspace{3 mm} (2) \hspace{15 mm} \nu = \dfrac{N}{N_A}\hspace{3 mm} (3)\] где \(\mu\)— молярная масса, \(N\) — число молекул/атомов, \(N_A\) — число Авогадро. Приравняем (2) и (3) и выразим массу молекулы/атома: \[\dfrac{m_o}{\mu} = \dfrac{N}{N_A} \hspace{3 mm} \Rightarrow \hspace{3 mm} m_o = \dfrac{N\mu}{N_A}\] По условию задачи \(N\) = 1, следовательно: \[\hspace{5 mm} m_o=\dfrac{\mu}{N_A} \hspace{5 mm} (4)\] Подставим (4) в (1): \[\dfrac{\mu v^2}{2N_A}=\dfrac{3}{2}kT\] С учетом того, что \(R=N_Ak\), получаем: \[v^2=\dfrac{3RT}{\mu},\] где \(R\) — универсальная газовая постоянная. Записав эту формулу для двух случаев, получим соотношение: \[\dfrac{v^2_2}{v^2_1}=\dfrac{\mu_1}{\mu_2},\] где \(v_1\) и \(\mu_1\) — средняя квадратичная скорость и молярная масса молекулы кислорода, \(v_2\) и \(\mu_2\) — средняя квадратичная скорость и молярная масса атома гелия.
Выразим искомую величину: \[v_2=v_1\sqrt{\dfrac{\mu_1}{\mu_2}}\] \[v_2 = 400\text{ м/с}\sqrt{\dfrac{0,032\text{ кг/моль}}{0,004\text{ кг/моль}}} \approx 1131 \text{ м/с}\]

Ответ: 1131

Связь температуры газа со средней кинетической энергией поступательного теплового движения его частиц: \[E_k=\dfrac{3}{2}kT \hspace{3 mm} \Rightarrow \hspace{3 mm} T=\dfrac{2E_k}{3k}\] где \(k\) —- постоянная Больцмана, \(T\) —- темпераутра газа в Кельвинах, \(E_k\) —- средняя кинетическая энергия молекул.
Подставим известные значения и вычислим температру газа: \[T=\dfrac{2\cdot6,21\cdot10^{-21}\text{ Дж}}{3\cdot1,38\cdot10^{-23}\text{ Дж/К}}=300 \text{ К}\] Так как необходимо дать ответ в градусах Цельсия, то: \[T=300-273=27^\circ \text{C}\]

Ответ: 27

Средняя кинетическая энергия равна: \[E=\dfrac{3}{2}kT,\] где \(T\) – температура газа.
Следовательно, температура возрастет в 2 раза и станет равной 500

Ответ: 500

Средняя кинетическая энергия: \[E=\dfrac{3}{2}kT\] Значит температура тоже уменьшилась в 2 раза.
Из основного уравнения МКТ: \[p=nkT\] Если давление упало в 5 раз, а температура упала лишь в 2, то концентрация упадет в 2,5 раз.

Ответ: 2,5

Средняя кинетическая энергия движения: \[E=\dfrac{3}{2}kT\] Пусть \(T_0\) – начальная температура, \(T_k=T_0+600\) – конечная температура. тогда \[T_0+600=4T_0 \Rightarrow 3T_0=600 \Rightarrow T_0=200\text{ К}\]

Ответ: 200

Связь температуры газа со средней кинетической энергией поступательного теплового движения его частиц: \[E_k=\dfrac{3}{2}kT \; \; \; \; (1)\] \[E_k=\dfrac{m_o\overline{v}^2}{2} \; \; \; \; (2)\] Приравняем (1) к (2): \[\dfrac{3}{2}kT=\dfrac{m_o\overline{v}^2}{2}\] где \(k\) — постоянная Больцмана, \(T\) — темпераутра газа в Кельвинах, \(m_o\) — масса одной молекулы газа, \(\overline{v}^2\) — средний квадрат скорости.
Выразим массу одной молекулы: \[m_o=\dfrac{3kT}{\overline{v}^2}\] Масса газа равна: \[m=m_oN\] где \(N\) — количество молекул газа.
Заметим, что плотность газа рассчитывается по формуле: \[\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{m_oN}{V}=\dfrac{3NkT}{V\overline{v}^2}\] \[\rho = \dfrac{3\cdot10^{12}\cdot1,38\cdot10^{-23}\text{ Дж/К}\cdot286\text{ К}}{4\cdot10^{-5}\text{ м$^3$}\cdot500^2\text{ (м/с)$^2$}}\approx 1,2\cdot10^{-9} \text{ кг/м$^3$}\]

Ответ: 1,2