4. Статика и механические колебания
На рисунке изображён график зависимости амплитуды колебаний А маятника от частоты силы \(\nu\), вызывающей эти колебания – резонансная кривая. Какой была частота в момент резонанса? (Ответ дайте в Гц) 
В момент резонанса амплитуда колебаний имеет наибольшее значение. По графику видно, что амплитуда максимальна, когда \(\nu=3\) Гц. 
Ответ: 3
Груз массой \(m_1=200\) г совершает свободные гармонические колебания на лёгкой пружине жёсткостью k. Каким должна быть масса \(m_2\) груза, чтобы на этой же пружине частота колебаний уменьшилась в два раза? (Ответ дайте в кг)
Частоту колебаний \(\nu\) можно найти по формуле: \[\nu = \frac{1}{2\pi}\cdot \sqrt{\frac{k}{m}}\]
Напишем это уравнение для \(\nu_1\) и \(\nu_2\): \[\begin{cases} \nu_1 = \dfrac{1}{2\pi}\cdot \sqrt{\dfrac{k}{m_1}} &\hspace{5mm}\quad(1)\\ \\ \nu_2 = \dfrac{1}{2\pi}\cdot \sqrt{\dfrac{k}{m_2}} &\hspace{5mm} \quad(2) \end{cases}\]
Поделив (1) на (2), получим: \[\frac{\nu_1}{\nu_2} =\sqrt{\frac{m_2}{m_1}} \Rightarrow m_2 =\frac{\nu_1^2}{\nu_2^2}\cdot m_1\] \[m_2 = \frac{(2\nu_2)^2}{\nu_2^2}\cdot m_1 =4m_1\] \[m_2 = 4\cdot 200\text{ г} = 800\text{ г} = 0,8\text{ кг}\]
Ответ: 0,8
На рисунке приведён график зависимости координаты Х математического маятика от времени t. Чему равна частота колебаний? (Ответ дайте в Гц и округлите до сотых.) 
Частота колебаний – величина обратная периоду колебаний. По графику видно, что период колебаний \(T=9\) c. Значит: \[\nu=\frac{1}{T} = \frac{1}{9\text{ c}} = 0,1111\text{ Гц} \approx 0,11\text{ Гц }\]
Ответ: 0,11
Период свободных колебаний математического маятника равен 0,5 с. Каким станет период свободных колебаний этого маятника, если длину маятника увеличить в 4 раза, а массу вдвое уменьшить? (Ответ дайте в секундах.)
Период свободных колебаний математического маятника связан с длиной самого маятника, но не зависит от массы груза: \[T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\] При увеличении длины в 4 раза период колебаний увеличится в 2 раза, т. е. станет равным 1 с.
Ответ: 1
На рисунке приведён график зависимости координаты Х математического маятика от времени t. Чему равен период колебаний? (Ответ дайте в секундах.)
Период колебаний – наименьший промежуток времени, за который система совершает одно полное колебание. По графику видно, что период \(T=9\) c.
Ответ: 9
На рисунках даны зависимости координаты Х от времени t двух грузов, подвешанных на лёгкие пружины. Найдите отношение периодов \(\dfrac{T_1}{T_2}\) маятников.
По графику видно, что период первого груза \(T_1=10\) с, а период второго \(T_2=4\) с.
Тогда нужное нам отношение равно: \[\frac{T_1}{T_2}=\frac{10\text{ с}}{4\text{ с}} = 2,5\]
Ответ: 2.5
Груз пружинного маятника смещается относительно положения равновесия по закону: \[x = A \sin{\left(\frac{2\pi}{\text{T}}t\right)}\] где А — амплитуда колебаний, T — период колебаний, \(T=1\) c.
Через какое минимальное время после момента \(t=0\) кинетическая энегия груза станет максимальной? (Ответ дайте в секундах.)
Кинетическая энергия груза: \[E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\] Чтобы \(E_k\) была максимальной, скорость груза должна быть максимальной (так как прямая зависимость). Найдём производную координаты по времени: \[x_t'=\upsilon = A\cdot\frac{2\pi}{T}\cdot\cos{\left(\frac{2\pi}{\text{T}}t\right)}\] \(\upsilon=\upsilon_{max}\), когда \(\displaystyle \cos{\left(\frac{2\pi}{\text{T}}t\right)} =1\), так как это максимальное значение косинуса
Решив это уравнение с условием, что нам нужен минимальный промежуток времени, получим: \[\frac{2\pi}{\text{T}}t =\pi \Rightarrow t =\frac{T}{2} = \frac{1\text{ с}}{2} = 0,5\text{ с}\]
Ответ: 0,5
