( МОШ, 2018, 9) Со скалы, возвыщаюшейся над морем на высоту \(h=25 \) м, бросили камень. Найдите время его полёта, если известно, что непосредственно перед падением в воду камень имел скорость \(v=30\) м/с, направленную под углом \(\beta=120^\circ\) к начальной скорости. Ускорение свободного падения \(g=10\) м/с\(^2\). Ответ дайте в секундах.
Запишем закон сохранения энергии \[\dfrac{mv_0^2}{2}+mgh=\dfrac{mv^2}{2},\] где \(v_0\) – начальная скорость камня, \(m\) – масса камня.
Найдем начальную скорость камня \[v_0=\sqrt{v^2-2gh}= \sqrt{900\text{ м$^2$/с$^2$}-2\cdot 10\text{ м/с$^2$}\cdot 25\text{ м}}=20\text{ м/с}\] По условию скорость камня в начальный момент времени и конечный направлены под углом 120\(^\circ\), отложим вектора этих скоростей из одной точки, при этом изменение скорости камня будет равно величине \(gt\). Будет треугольник, составленный на сторонах \(v_0\), \(v\), и \(gt\), при этом \(gt\) будет лежать напротив угла 120\(^\circ\).
Откуда по теореме косинусов \[gt=\sqrt{v_0^2+v^2-2v_0v\cos \beta} \Rightarrow t=\dfrac{\sqrt{v_0^2+v^2-2v_0v\cos \beta }}{g}=\dfrac{\sqrt{400\text{ м/с$^2$}+900\text{ м/с$^2$}-2\cdot 20\text{ м/с}\cdot 30\text{ м/с}\cdot (-0,5)}}{10\text{ м/с$^2$}} \approx 4,4\text{ с}\]
Ответ: 4,4