Динамика (страница 2)

Запишем силы в проекции на \(Oy\): \[N - F - m \cdot g \cdot \cos{\alpha} = 0,\] где \(N\) — сила реакции опоры, \(F\) — прижимающая сила, \(m \cdot g\) — сила тяжести, \(\alpha\) — угол между наклонной плоскостью и горизонталью.
Выразим отсюда силу реакции опоры \[N = F + m \cdot g \cdot \cos{\alpha}\] Из формулы следует, что при уменьшении прижимающей силы сила реакции опоры уменьшается.
Силу трения можно найти по формуле \[F_{\text{тр}} = \mu \cdot N,\] где \(\mu\) — коэффициент трения скольжения.
Из формулы следует, что при уменьшении силы реакции опоры сила трения также уменьшается.

Ответ: 22

Груз находится в состоянии покоя, значит, векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Запишем силы в проекции на \(Oy\): \[T - m\cdot g = 0,\] где \(T\) — сила натяжения каната, \(m\cdot g\) — сила тяжести, действующая на груз. Отсюда выразим \(T\) \[T = m\cdot g\] Из формулы видно, что при уменьшении массы груза сила натяжения каната также уменьшается.
Человек также находится в состоянии покоя, значит, векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Запишем силы в проекции на \(Oy\): \[T + N - M\cdot g = 0,\] где \(N\) — сила реакции опоры, \(M\cdot g\) — сила тяжести, действующая на человека. Отсюда выразим \(N\) \[N = M\cdot g - T\] Из формулы видно, что при уменьшении силы натяжения сила реакции опоры увеличивается.

Ответ: 12

Тело находится в состоянии покоя, значит, векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Запишем силы в проекции на \(Ox\): \[F\cdot \cos{\alpha} + F_{\text{тр}} - m \cdot g \cdot \sin{\alpha} = 0,\] где \(F\) — прижимающая сила, \(\alpha\) — угол между наклонной плоскостью и горизонталью, \(F_{\text{тр}}\) — сила трения покоя, \(m \cdot g\) — сила тяжести. Выразим силу трения \[F_{\text{тр}} = m \cdot g \cdot \sin{\alpha} -F\cdot \cos{\alpha}\] Из формулы следует, что при увеличении прижимной силы сила трения уменьшается.
Запишем силы в проекции на \(Oy\): \[N - F\cdot \sin{\alpha} - m \cdot g \cdot \cos{\alpha} = 0,\] где \(N\) — сила реакции опоры. \[N = F \cdot \sin{\alpha} + m \cdot g \cdot \cos{\alpha}\] Из формулы следует, что при увеличении прижимной силы сила реакции опоры увеличивается.

Ответ: 21

Тело находится в состоянии покоя, значит, векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Запишем силы в проекции на \(Ox\): \[F_{\text{тр}} - m \cdot g \cdot \sin{\alpha} = 0,\] где \(F_{\text{тр}}\) — сила трения покоя, \(m \cdot g\) — сила тяжести, \(\alpha\) — угол между наклонной плоскостью и горизонталью. Выразим силу трения \[F_{\text{тр}} = m \cdot g \cdot \sin{\alpha}\] Из этой формулы следует, что сила трения в данном случае зависит лишь от массы тела и угла \(\alpha\). Эти величины не изменяются \(\Rightarrow\) сила трения не изменяется.
Запишем силы в проекции на Оу: \[N - F - m \cdot g \cdot \cos{\alpha} = 0,\] где \(N\) — сила реакции опоры, \(F\) — прижимающая сила. Выразим силу реакции опоры \[N = F + m \cdot g \cdot \cos{\alpha}\] Из формулы следует, что при увеличении \(F\) также увеличивается и \(N\). Таким образом, сила реакции опоры увеличивается.

Ответ: 31

1) Распишем силы, действующие на тело (рис. 1):
По второму закону Ньютона: \[\vec{F}_{\text{тр}} + \vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a}\] Введем оси \(Ox\) и \(Oy\). Спроецируем на них все силы, действующие на тело:

\[\begin{cases} Ox: mg\sin\alpha - F_\text{тр} = ma\\ Oy: N - mg\cos\alpha = 0 \end{cases} \Rightarrow \hspace{3mm} \begin{cases} mg\sin\alpha - \mu N = ma\\ N=mg\cos\alpha \end{cases}\]

\[mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha = ma\] \[g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha = a\] \[a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)\] Отсюда получаем, что ускорение не зависит от массы тела \(\Rightarrow\) оно не изменяется.
2) Работа тела находится по формуле: \[A=FS\cos\alpha ',\] где \(F\) — сила, \(S\) — перемещение тела, \(\alpha '\) — угол между вектором перемещения и вектором силы.
В данном случае \(F=F_\text{тяж}=mg\) и \(\alpha ' = 90^\circ - \alpha \Rightarrow \cos\alpha ' = \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha\) (рис. 2).
Таким образом, \(A_\text{силы тяжести}=mgS\sin\alpha\)
Значит, работа силы тяжести прямо пропорциональна массе тела.
Массу тела уменьшили \(\Rightarrow\) работа силы тяжести тоже уменьшилась.

Ответ: 32

Коэффициент трения скольжения — величина, зависящая от материала трущихся поверхностей, поэтому изменение массы груза на неё не влияет.
Сделаем рисунок с указанием всех сил, действующих на брусок:
Так как тело движется равномерно, то векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Запишем в проекциях на \(Ox\) и \(Oy\): \[\begin{cases} F \cdot \cos{\alpha} - F_{\text{тр}} = 0\\ N + F \cdot \sin{\alpha} - m \cdot g = 0 \end{cases}\] Силу трения можно найти по формуле \[F_{\text{тр}} = \mu \cdot N,\] где \(\mu\) — коэффициент трения скольжения, \(N\) — сила реакции опоры.
Подставляя формулу силы трения в систему уравнений, получаем

\[\begin{cases} F \cdot \cos{\alpha} - \mu \cdot N = 0\\ N + F \cdot \sin{\alpha} - m \cdot g = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} N = \dfrac{F \cdot \cos{\alpha}}{\mu}\\ N = m \cdot g - F \cdot \sin{\alpha} \end{cases} \Rightarrow \hspace{0,6 cm} \mu \cdot m \cdot g - \mu \cdot F \cdot \sin{\alpha} = F \cdot \cos{\alpha}\]

Выражаем отсюда \(F\):
\[F = \dfrac{\mu \cdot m \cdot g}{\mu \cdot \sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\]
Между \(F\) и \(m\) прямо пропорциональная зависимость, значит, при увеличении массы сила должна увеличится.

Ответ: 31

1) На спутник действует сила притяжения Земли: \[F_\text{пр}=G\frac{mM}{R^2},\] где \(G\) — гравитационная постонная, \(m\) — масса спутника, \(M\) — масса Земли, \(R\) — радиус орбиты.
Также по второму закону Ньютона: \[F=ma\] Отсюда следует, что: \[ma=G\frac{mM}{R^2} \Rightarrow a=\frac{GM}{R^2}\] Центростремительное ускорение по определению равно: \[a_\text{ц.с.}=\frac{V^2}{R}\] Значит: \[\frac{V^2}{R}=\frac{GM}{R^2} \Rightarrow \hspace{3mm} V^2=\frac{GM}{R}\] Отсюда видно, что скорость спутника никак не зависит от его массы, поэтому она останется неизменной.
2) Исходя из закона всемирного тяготения, очевидно, что при уменьшении массы уменьшается и сила притяжения: \[F_\text{пр}=G\frac{mM}{R^2}\]

Ответ: 32