Равноускоренное прямолинейное движение (страница 3)

Путь можно найти двумя способами:

1 способ:
Путь — величина строго положительная, это длина пройденного телом участка траектории. Под перемещением же тела понимается изменение его координаты, перемещение может быть отрицательным. Путь можно найти как площадь под графиком зависимости скорости от времени без учета знаков, а перемещение с их учетом. В данном случае необходимо найти площадь трапеции.
\[S=\dfrac{10+40}{2}\cdot10=250 \text{ м}\]

2 способ:
Рассмотрим участок движения от 0 до 10 с, где \(\upsilon_{0} = 10\) м/с , \(\upsilon_{1} = 40\) м/с.
\[\displaystyle a = \dfrac{\upsilon_{1}-\upsilon_{0}}{\Delta t} = \dfrac{40-10}{10} = 3 \text{ м/с$^{2}$}\] \[\displaystyle S = \upsilon_{0}t + \dfrac {at^2}{2} = 10\cdot10+\dfrac {3\cdot10^2}{2} = 250 \text{ м}\]

Ответ: 250

Найдем проекцию ускорения тела по формуле:

\[a_x=\frac{\Delta \upsilon}{ \Delta t}\]

Найдем \(\Delta \upsilon\): \[\Delta \upsilon=\upsilon_\text{к}-\upsilon_\text{н}\]

Подставим исходные данные: \[\Delta \upsilon=5\text{ м/с}-2\text{ м/с}=3\text{ м/с}\]

Найдем \(\Delta t\): \[\Delta t=t_\text{к}-t_\text{н}\]

Подставим исходные данные: \[\Delta t=8\text{ c}-5\text{ c}=3\text{ c}\]

Подставим полученные данные в формулу проекции ускорения тела: \[a_x=\dfrac{3\text{ м/с}}{3\text{ c}}=1\text{ м/c$^2$}\]

Ответ: 1

Ускорение мопеда по определению: \[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\] Выразим \(\Delta t\) из уравнения и подставим данные из условия: \[\Delta t = \frac{\Delta v}{a} = \dfrac{40 \text{ м/с}}{2 \text{ м/с}^2} = 20 \text{ с}\]

Ответ: 20

По условию задачи, сопротивлением воздуха пренебрегаем, тогда на мяч действует только сила тяжести, она же и создает ускорение свободного падения, направленное против движения тела. Тогда скорость в момент времени \(t\) определяется по формуле: \[v(t) = v_{0} - gt\]

Выражаем отсюда начальную скорость \(v_{0}\), которую нам и необходимо найти, подставляем значения из условия: \[v_{0} = v(t) + gt = 5 + 10\cdot2 = 25 \text{ м/с}\]

Ответ: 25

1 способ:

Скорость — это производная по времени от координаты \(x(t)\). Геометрический смысл производной — тангенс угла наклона касательной, следовательно, чтобы проекции скоростей этих тел были приблизительно одинаковыми, ко второму графику надо провести касательную, параллельную первой прямой. Эта касательная примерно пройдет через точку \(t \approx 3\) с.

2 способ:
Напишем уравнения движения данных тел. Изменение координаты первого тела линейное, следовательно первое тело движется равномерно: \[x_{1} = x_{01} + v_{1x}t\hspace{15mm} (1)\] Так как зависимость координаты второго тела квадратичная, графиком её является парабола, то второе тело движется равноускоренно: \[x_{2} = x_{02} + v_{02x}t + \dfrac{a_{x}t^{2}}{2} = v_{02x}t + \dfrac{a_{x}t^{2}}{2}\hspace{15mm} (2)\] Так как первое тело движется равномерно, его скорость остается неизменной. Выразим скорость из уравнения (1): \[v_{1x} = \dfrac{x_{1} - x_{01}}{t} = \dfrac{4 - 3}{1} = 1 \text{ м/с}\] По условию задачи: \[v_{2x} = v_{1x} = 1 \text{ м/с}\] Запишем уравнение (2) другим способом. Зависимость координат второго тела — парабола с вершиной при \(x_{0} = 7\) и \(t_{0} = 4\) с корнями (т.е. точками пересечений с осью \(Ot\)) \(x_{21} = 0\) и \(x_{22} = 8\). Тогда получим: \[x_{2} = a_{x}(t - x_{21})(t - x_{22}) = a_{x}(t - 0)(t - 8) = a_{x}t(t-8) \hspace{15mm} (3)\] Выразим из уравнения (3) \(a_x\) и подставим координаты вершины параболы: \[a_{x} = \dfrac{x_{0}}{t_{0}(t_{0} - 8)} = \dfrac{7}{4(4-8)} = - \dfrac{7}{16} \text{ м/с$^{2}$}\] Тогда уравнение (3) преобразуется в: \[x_{2} = - \dfrac{7}{16}t(t - 8) = \dfrac{7}{2}t - \dfrac{7}{16}t^{2} \hspace{15mm} (4)\] Заметим, что скорость — производная пути. Найдем производную пути из уравнения (4). Получим: \[v_{2x} = \dfrac{7}{2} - \dfrac{7}{8}t\] Выразим отсюда время \(t\), которое и необходимо нам найти по условию задачи: \[t = \dfrac{8(1 - \dfrac{7}{2})}{- 7} \approx 3 \text{ c}\]

Ответ: 3

Вектор скорости мотылька находится по формуле: \[\vec{v(t)} = \vec{V_x}(t) + \vec{V_y}(t) + \vec{V_z}(t)\] В момент времени \(t = 3\) с \(V_x = 3\) м/с, \(V_y = 0\) м/с, a \(V_z = 4\) м/с. Так как проекция скорости на ось \(OY\) равна 0, то: \[\vec{v(t)} = \vec{V_x}(t) + \vec{V_z}(t)\] Так как оси перпендикулярны друг другу, то получаем прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: \[v^{2}(t) = V_x^{2}(t) + V_z^{2}(t)\] Отсюда выражаем \(v^{2}(t)\): \[v(t) = \sqrt{V_x^{2}(t) + V_z^{2}(t)} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 \text{ м/с}\]

Ответ: 5

По графику видно, что движение тела — равноускоренное.
Начальная скорость \(v_0=4\) м/с, проекция ускорения: \[\displaystyle a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{\Delta t}=\frac{-2-4}{3}=-2 \text{ м/с}^2\] Уравнение для координаты тела при равноускоренном движении: \[x=x_0+V_0t+\frac{at^2}2=15+4t-t^2\] При \(t=5\) с координата этого тела равна: \[x=15+4\cdot5-5^2=10 \text{ м }\]

Ответ: 10